BZOJ1492: [NOI2007]货币兑换Cash

动态规划-斜率优化 CDQ分治 bzoj

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将OP% 的 A券和 OP% 的 B券以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为 IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、BK、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：$0<AK≤10,0<BK≤10,0<RateK≤100,MaxProfit≤10^9$
$n\leq 10^5$。

【提示】
1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足：
每次买进操作使用完所有的人民币；每次卖出操作卖出所有的金券。

Output
只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

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Solution

自然是少不了大佬的讲解啊
【陈丹琪】从《Cash》谈一类分治算法的应用.pdf314.1kB

首先题设比较复杂，不仔细读题，后面的方程肯定写不出来。

考虑到，如果有一天卖出会让你盈利，肯定是全部卖出时盈利更多。
同理，如果有一天买入会使得之后某一天卖出时赚得更大利润，那么这一天一定会全部买入。
没有上面两点这题根本不可做。

对于动归的状态，记作 $dp[i].ma$和$dp[i].mb$ 分别表示第 $i$ 天如果全部买入，可以最多获得 $dp[i].ma$ 的 $A$ 券，与此同时可以买到 $dp[i].mb$ 的 $B$ 券。$dp[i].ma$ 是最主要的状态。姑且把m看作质量吧，不知道该咋起名字

这样就有了 DP 方程（注意 $i,j$ 别乱了）：

$$\begin{equation*} \begin{aligned} dp[i].mb&=\frac{val}{A[i]*rate[i]+B[i]}\\ dp[i].ma&=dp[i].mb\times rate[i]\\ val&=max\{dp[j].ma*A[i]+dp[j].mb*B[i]\} \end{aligned} \end{equation*}$$

这样得到的是一个 $O(n^2)$ 的算法，val的最大值为最终答案

考虑对于一个决策点 $t$，如果有两个决策方案 $x,y$ ，那么 $x$ 比 $y$ 优当且仅当：

$$\begin{equation*} \begin{aligned} val_x&>val_y\\ dp[x].ma\times A[t]+dp[x].mb\times B[t]&>dp[y].ma\times A[t]+dp[y].mb\times B[t]\\ A[t]\times(dp[x].ma-dp[y].ma)&>B[t]\times(dp[y].mb-dp[x].mb) \end{aligned} \end{equation*}$$

这时，这已经很像斜率优化了，但是因为没有各种单调性，所以没法搞事。
我们直接令 $dp[x].ma<dp[y].ma$ 使得其有一个单调性。

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{A[t]}{B[t]}&<\frac{dp[y].mb-dp[x].mb}{dp[x].ma-dp[y].ma}\\ -\frac{A[t]}{B[t]}&>\frac{dp[x].mb-dp[y].mb}{dp[x].ma-dp[y].ma} \end{aligned} \end{equation*}$$

这就可以斜率优化了这是一个上凸壳

接下来，由于 $dp[x].ma$ 实际上并不单调，所以需要用平衡树维护上凸包我没写这个。
或者使用 CDQ分治。

首先对于区间 $[L,R]$，可以通过 $[L,mid]$ 的信息做出来一个上凸包，用于更新 $[mid+1,R]$ 的决策，不一定是最终的最优，但要保证是 $[L,mid]$ 转移过来的最优情况。
考虑把 $-\frac{A[t]}{B[t]}$ 看做第一维，$dp[x].ma$ 看做第二维。
将第一维排序（升序降序都可以写出来），对第二维进行类似归并的过程。
具体过程是$solve(l,r)$
$\rightarrow$按下标进行对每一天信息的划分(小于 $mid$ 划到 $[L,mid]$ 否则 $[mid+1,R]$。由于之前排过序，划分后$-\frac{A[t]}{B[t]}$仍然有序)
$\rightarrow solve(l,mid)$
$\rightarrow$构建$[L,mid]$凸包。进行决策，由于$-\frac{A[t]}{B[t]}$和凸包都是单调的，可以$O(n)$算一下$[mid+1,R]$所有的最优解。
$\rightarrow solve(mid+1,r)$
$\rightarrow$按照 $dp[x].ma$ 升序排序，这是可以进行斜率优化的基础。

这样保证了斜率优化的可行性（$dp[x].ma$单调递增），同时又可以不让决策的先后错乱（比如先在第三天操作再去第二天操作），是一个优秀的分治算法。时间复杂度 $O(nlogn)$。

/**************************************************************
    Problem: 1492
    User: zzzc18
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1512 ms
    Memory:10592 kb
****************************************************************/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 100000+9;
const double EPS = 1e-9;
const double INF = 1e20;
int n;
double ans[MAXN];
struct DATA{
    double A,B,rate;
    int id;
}num[MAXN];
bool DATAcmp(const DATA &X,const DATA &Y){
    return (-X.A/X.B)<(-Y.A/Y.B);
}
struct DP{
    double ma,mb;//表示A的数量以及B的数量
}dp[MAXN];
double K(int x,int y){
    if(dp[x].ma==dp[y].ma)return -INF;
    return (dp[x].mb-dp[y].mb)/(dp[x].ma-dp[y].ma);
}
bool jud(int x,int y){
        return dp[x].ma<dp[y].ma;
}
void CDQ(int l,int r){
    if(l==r){
        ans[l]=max(ans[l],ans[l-1]);
        dp[l].mb=ans[l]/(num[l].A*num[l].rate+num[l].B);
        dp[l].ma=dp[l].mb*num[l].rate;
        return;
    }
    static DATA tmp1[MAXN];
    static DP tmp2[MAXN];
    int mid=l+r>>1;
    int p1=l,p2=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(num[i].id<=mid)
            tmp1[p1++]=num[i];
        else
            tmp1[p2++]=num[i];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)
        num[i]=tmp1[i];
    CDQ(l,mid);
    static int top;
    static int sta[MAXN];
    top=1;
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        while(top>2 && K(sta[top-1],sta[top-2])<K(sta[top-1],i))
            top--;
        sta[top++]=i;
    }
    int now=1;
    for(int i=r;i>mid;i--){
        while(now<top-1 && K(sta[now],sta[now+1])>=-num[i].A/num[i].B)
            now++;
        int t=num[i].id;
        ans[t]=max(ans[t],dp[sta[now]].ma*num[i].A+dp[sta[now]].mb*num[i].B);
    }
    CDQ(mid+1,r);
    p1=l,p2=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(p2>r || (p1<=mid && jud(p1,p2)))
            tmp2[i]=dp[p1++];
        else
            tmp2[i]=dp[p2++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)
        dp[i]=tmp2[i];
}
void solve(){
    sort(num+1,num+n+1,DATAcmp);
    CDQ(1,n);
    printf("%.3lf\n",ans[n]);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lf",&ans[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf%lf",&num[i].A,&num[i].B,&num[i].rate);
        num[i].id=i;
    }
    solve();
    return 0;
}