KM算法

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//HDU2255
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 400;
const int INF = 0x7fffffff;
int MAP[MAXN][MAXN];
struct data{
    int ex,vis;
}l[MAXN],r[MAXN];
int match[MAXN],slack[MAXN];
int n;
void INIT(){
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&MAP[i][j]);
        }
    }
}
bool DFS(int x){
    l[x].vis=1;
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
        if(r[i].vis==1)
            continue;
        int sla=l[x].ex+r[i].ex-MAP[x][i];
        if(sla==0){
            r[i].vis=1;
            if(match[i]==-1 || DFS(match[i])){
                match[i]=x;
                return true;
            }
        }
        else{
            slack[i]=min(slack[i],sla);
        }
    }
    return 0;
}
void KM(){
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        l[i].ex=-INF;
        r[i].ex=0;
        match[i]=-1;
        for(j=1;j<=n;j++){
            l[i].ex=max(l[i].ex,MAP[i][j]);
        }
    }
    for(k=1;k<=n;k++){
        for(i=1;i<=n;i++)
            slack[i]=INF;
        while(true){
            for(i=1;i<=n;i++){l[i].vis=r[i].vis=0;}
            if(DFS(k))break;
            int d=INF;
            for(i=1;i<=n;i++){
                if(r[i].vis==0){
                    d=min(d,slack[i]);
                }
            }
            for(i=1;i<=n;i++){
                if(l[i].vis){
                    l[i].ex-=d;
                }
                if(r[i].vis){
                    r[i].ex+=d;
                }
                else{
                    slack[i]-=d;
                }
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        ans+=l[i].ex+r[i].ex;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        INIT();
        KM();
    }
    return 0;
}

http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/5665646
http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5264235.html

这个算法的本质还是不断的找增广路；

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

1、两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2、两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3、X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。（关键点）

现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。（注意这个slack的神奇作用）