算法概论作业2.3

算法概论作业

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Ex.2.22

给定两个有序表，大小分别为m和n。给出一个算法，以$O(log m+log n)$的时间找出两个列表合并后的有序列表中的第K小元素

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我们从最基础的情况开始考虑，假设一个数组为空，在另一个数组中找第K小元素，很明显，如果k不超过第二个数组的长度，那么结果就是B[bLeft+k-1]
反之同理
所以，合法性判定，和终止判定如下

    if (k>(aRight - aLeft + 1 + bRight - bLeft + 1))
    {
        cerr << "输入不合法" << endl;
        return -1;
    }
    if (aLeft > aRight){
        return B[bLeft+ k - 1];
    }
    if (bLeft> bRight){
        return A[aLeft+ k - 1];
    }

下面，我们回归一般情况下
我们取

int aMiddle = (aLeft + aRight) / 2;
int bMiddle = (bLeft + bRight) / 2;

首先比较$A[aMiddle]$与$B[bMiddle]$的大小
我们不妨假设$A[aMiddle]>B[bMiddle]$

如果满足$A[aMiddle]>B[bMiddle]$

那么必定有$A[aMiddle+1,...,aRight]$排在所有元素的$(aMiddle+bMiddle)$之后
同时还有$B[bLeft,...,bMiddle]$排在所有元素的$(aMiddle+bMiddle)$之前

然后那么如果

k <= (aMiddle-aLeft)+(bMiddle-bLeft)+1

我们可以把A数组右边的部分舍弃，否则
我们可以把B数组的左边部分舍弃，并在剩余部分寻找第（k-舍弃部分的个数）

反之亦然。

代码如下

if (A[aMiddle] > B[bMiddle])
    {
        if (k <= (aMiddle - aLeft) + (bMiddle - bLeft) + 1)
            FindElement(A, B, aLeft, aMiddle - 1, bLeft, bRight, k);
        else
            FindElement(A, B, aLeft, aRight, bMiddle + 1, bRight, k - (bMiddle - bLeft) - 1);
    }
    else
    {
        if (k <= ((aMiddle - aLeft) + (bMiddle - bLeft) + 1))
            FindElement(A, B, aLeft, aRight, bLeft, bMiddle - 1, k);
        else
            FindElement(A, B, aMiddle + 1, aRight, bLeft, bRight, k - (aMiddle - aLeft) - 1);
    }

全部代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int FindElement(int A[], int B[], int aLeft, int aRight, int bLeft, int bRight, int k);
int main()
{
    int A[10] = { 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17 };
    int B[5] = { 2, 4, 8, 10, 12, };
    //int k;
    //cout << "请输入k的值：";
    //cin >> k;
    for (int k = 1; k < 10; k++)
        cout << endl << FindElement(A, B, 0, 9, 0, 4, k);
    return 0;
}
int FindElement(int A[], int B[], int aLeft, int aRight, int bLeft, int bRight, int k)
{
    if (k > (aRight - aLeft + 1 + bRight - bLeft + 1))
    {
        cerr << "输入不合法" << endl;
        return -1;
    }
    if (aLeft > aRight){
        return B[bLeft + k - 1];
    }
    if (bLeft > bRight){
        return A[aLeft + k - 1];
    }
    int aMiddle = (aLeft + aRight) / 2;
    int bMiddle = (bLeft + bRight) / 2;
    if (A[aMiddle] > B[bMiddle])
    {
        if (k <= (aMiddle - aLeft) + (bMiddle - bLeft) + 1)
            FindElement(A, B, aLeft, aMiddle - 1, bLeft, bRight, k);
        else
            FindElement(A, B, aLeft, aRight, bMiddle + 1, bRight, k - (bMiddle - bLeft + 1));
    }
    else
    {
        if (k <= ((aMiddle - aLeft) + (bMiddle - bLeft) + 1))
            FindElement(A, B, aLeft, aRight, bLeft, bMiddle - 1, k);
        else
            FindElement(A, B, aMiddle + 1, aRight, bLeft, bRight, k - (aMiddle - aLeft + 1));
    }
}

Ex2.27

(a)

$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ d & e \end{array} \right] ^2= \left[ \begin{array}{ccc} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{array} \right] \end{equation}$$

b)
因为分治之后得到的子问题不再是平方操作了，所以该算法的运行时间不是$O(nlog25)$

Ex2.31

算法:
$gcd = 2gcd(a/2,b/2)$, 若a,b都是偶数
$gcd(a,b/2)$, 若a是奇数，b是偶数
$gcd(|a-b|,Min(a,b))$,若a,b都是奇数

int gcd(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;
    if(b == 0) return a;
    if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a/2, b/2);
    else if(a % 2 == 0)  return gcd(a/2 , b);
    else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b/2);
    else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
}
int Min(int a,int b)
{
    if (a >= b)
    {
        return b;
    }
    else
        return a;
}