加法法则与乘法法则

组合数学 数学

加法法则和乘法法则都是应用在 计数 这一方面, 算是组合数学的基础吧.

加法法则

关键词: 分类
书上的定义是这样,

设 $A$ 和 $B$ 是性质无关的两类事件.
若具有性质 $A$ 的事件有 $m$ 个, 具有性质 $B$ 的事件有 $n$ 个, 则具有性质 $A$ 或 性质 $B$ 的事件有 $m+n$ 个.

举个例子吧.

有一条南北走向的河, 你在河东, 想到河西去.
现在有 4 类方法, 分别是

1. 过桥
2. 坐船
3. 坐飞机
4. 坐火箭游过去

而这 4 类方法又有几种不同的实现方式,
过桥可以过 木桥, 钢架桥, 石桥
坐船可以坐 邮轮(谁过个河坐邮轮...), 渔船, 快艇, 泰坦尼克号(这好像就是邮轮吧喂)
坐飞机呢 可以坐波音747, 大飞机C919, 马航
游泳.... 那就直接游吧.

统计一下, 过桥有 3 种方式, 坐船有 4 种方式, 坐飞机有 2 种方式, 游泳有 1 种方式.
现在问你, 从河东到河西有几种方式?

根据加法法则, 把不同类别的方式加起来, 总共是 3+4+2+1=10 种.

再强调一遍, 关键词: 分类.

乘法原则

关键词: 分步
先上定义

设 $A$ 和 $B$ 是性质无关的两类事件.
若具有性质 $A$ 的事件有 $m$ 个, 具有性质 $B$ 的事件有 $n$ 个, 则具有性质 $A$ 和 性质 $B$ 的事件有 $mn$ 个.

完全看不懂

栗子:

刚才你从河东到了河西, 现在你又要回到河东.
你回到河岸, 发现河两岸的交通运输被一个叫 Pineapple 的公司垄断了, 想到河的对岸, 就必须乘坐他们的最新产品: ifruit 独木舟(什么鬼).

但是由于独木舟的性能太差了, 你只能先乘坐到河中央的小岛, 再换乘另一台独木舟.

在河西有 6 个上舟入口, 分别对应 6 条从河西到小岛的航线, 在河东有 7 个下舟出口, 对应着 7 条从小岛到河东的航线.

还是刚才那个问题, 从河西到河东有几种方式?

思考一下, 假如你从 1 号入口上舟, 到了小岛后, 有 7 种选择, 那就是 7 种方案; 若是从 2 号入口上舟, 还是有 7 种选择.
那么, 从河西到河东一共就有 6*7=42 种方式.

可以这样理解, 从河西到河东总共需要 2 步, 那么把每一步的方法乘起来, 就是总方案数了.

关键词: 分步