导数概念 学习笔记

高等数学 数学 导数

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导数的含义

在实际生活中, 我们会遇到一些关于变量的"变化快慢"的问题, 比如 瞬时速度. 在数学中, 这类问题被称为函数的变化率问题, 而导数就是对函数的变化率这一概念的精准描述
(后面那半句是我抄书上的......)

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导数的定义

函数在一点处的导数

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义, 当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时(点 $x_0+\Delta x$ 仍在改邻域内),相应的,因变量 $y$ 也取得增量 $\Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)$; 若 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在, 则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, 并称这个极限为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数,记为 $f'(x_0)$, 即

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
也可表示为
$$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$
还有其他表示方法,如 $y'\mid_{x=x_0},\frac{dy}{dx}\mid_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}\mid_{x=x_0}.$

导函数

上面讲的是函数在某一点处可导, 现在设一个开区间 $I$, 若函数 $f(x)$ 在 $I$ 内的每一个点都可导, 那么 $f(x)$ 就在开区间 $I$ 内可导, 那么开区间 $I$ 内的每一个点都对应着函数 $f(x)$ 的一个确定的导数, 这些导数值又构成了一个新的函数, 称原函数 $y=f(x)$ 的导函数, 简称导数, 记作 $y',f'(x),\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{df(x)}{x}$.
把上面 $f'(x_0)$ 得到定义式中的 $x_0$ 改为 $x$ 即可得出导函数的定义式

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

单侧导数

由导数的定义, 我们知道导数其实就是极限, 既然极限有 左极限 和 右极限之分, 导数自然也有 左导数 和 右导数之分, 分别记为

$$f_{-}'(x),\ f_{+}'(x)$$
这两类导数都称为单侧导数, 定义式为
$$f_{-}'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
$$f_{+}'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
与极限类似, 一个函数在某一点可导的充要条件为
该函数在这一点的左导数和右导数同时存在且相等.

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函数可导性与连续性的关系

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导, 即

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)$$
存在, 设 $\alpha$ 为当 $\Delta x \to 0$ 时的无穷小, 那么上述式子可化为
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x)+\alpha$$
两边同乘 $\Delta x$, 得
$$\Delta y = f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x$$
由于 $\Delta x \to 0$, 所以 $\Delta y \to 0$, 所以函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处是连续的.

然而, 若函数在点 $x$ 处是连续的, 并不能代表他在点 $x$ 处是可导的, 函数 $y=|x|$ 就是一个反例, 它在点 $0$ 处是连续的, 但不是可导的.

综上所述, 函数在某点连续是函数在某点可导的必要条件, 但不是充分条件