函数的求导法则 学习笔记

高等数学 数学 导数

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函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 若函数 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 都在点 $x$ 可导, 那么它们的和, 差, 积, 商(除分母为零的点外)都在点 $x$ 可导, 且
(1) $[u \pm v]'= u' \pm v'.$
(2) $[u \cdot v]'= u'v+uv'.$
(3) $[\frac{u}{v}]'=\frac{u'v-uv'}{v^2} (v\not=0).$

反函数的求导法则

定理2 若函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调, 可导且 $f'(y)\not=0$, 那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x=\{x \mid x=f(y),y \in I_y\}$ 内也可导, 且

$$[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}$$

复合函数的求导法则

定理3 若函数 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导, 且函数 $y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导, 则它们的复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导, 且

$$f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)$$
或记作
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

导数公式

(1) $(C)'=0$ ($C$ 为常数),

(2) $(x^{\mu})'=\mu x^{\mu -1},$

(3) $(\sin x)'=\cos x,$

(4) $(\cos x)'=-\sin x,$

(5) $(\tan x)'=\sec^2 x,$

(6) $(\cot x)'=-\csc^2 x,$

(7) $(\sec x)'=\sec x \cdot \tan x,$

(8) $(\csc x)'=-\csc x \cdot \cot x,$

(9) $(a^x)'=a^x\ln a\ (a>0, a\not= 1),$

(10) $(e^x)'=e^x,$

(11) $(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\ (a>0,a\not=1),$

(12) $(\ln x)'=\frac{1}{x}.$