极限运算法则 学习笔记

高等数学 数学 极限 学习笔记

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在下面的讨论中，记号 “$lim$” 下方均没有标注自变量的变化过程，实际上对于 $x \to x_0$ 和 $x \to \infty$，下列定理和推论都成立，因此省略。

定理1 两个无穷小的和是无穷小.
推论 有限个无穷小的和也是无穷小.

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.

定理3 如果 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$ 那么
(1) $\lim [f(x) \pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B.$
(2) $\lim [f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B.$
(3) 若有 $B \not= 0$,则

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}.$$

关于定理3中的(2),有以下推论
推论1 $\lim [c \cdot f(x)]=c \cdot lim f(x).$
推论2 $\lim f(x)^n=[lim f(x)]^n.$

定理4 关于数列也有类似的极限四则运算法则,略.

定理5 如果 $\phi(x) \ge \mu(x)$,那么 $\lim \phi(x) \ge \lim \mu(x).$
证明:
设 $f(x)=\phi(x)-\mu(x)$,则 $f(x) \ge 0,$
所以 $\lim \phi(x) - \lim \mu(x)=\lim f(x) \ge 0,$
故 $\lim \phi(x) \ge \lim \mu(x)$,得证.

定理6 设复合函数 $f[g(x)]$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域有定义, 若 $\lim_{x \to x_0} g(x)=u_0,\lim_{u \to u_0} f(u)=A$,且存在正数 $\delta$, 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,
$g(x)\not=u_0$,则

$$\lim_{x \to x_0} f[g(x)]=\lim_{u \to u_0} f(u)=A.$$