无穷小与无穷大 学习笔记

高等数学 数学 极限

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无穷小

定义 若函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的极限为 $0$，那么就称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷小

定理1 在自变量的同一变化过程 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充要条件为 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为无穷小。

无穷大

定义 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域（或当 $|x|$ 大于某一正数时）有定义，如果对于任意给定的正数 $M$（不论它有多大），总存在正数 $\delta$（或正数 $X$），使得当 $0<|x-x_0|<\delta$（或 $|x|>X$）时，满足不等式

$$|f(x)|>M$$ ，
则称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷大

定理2 在自变量的同一变化过程中，若 $f(x)$ 为无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；反之，若 $f(x)$ 为无穷小，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。