概率论的基本概念 学习笔记

概率 学习笔记

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§1 随机实验

暂略

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§2 样本空间，随机事件

概念

样本空间：随机事件 $E$ 的所有可能结果组成的集合，称为 $E$ 的样本空间。
样本点：样本空间中的元素，即 $E$ 的每个 m结果。

随机事件：实验 $E$ 的样本空间 $S$ 的子集，称为 $E$ 的随机事件，简称事件。
基本事件：由一个样本点组成的单点集。

必然事件：样本空间 $S$ 本身。
不可能事件：空集 $\varnothing$。

事件间的关系与运算

设实验 $E$ 的样本空间为 $S$，而 $A,B$ 均为 $S$ 的子集。
1. 若 $A\subset B$，则 称 $A$ 包含于 $B$，或 $B$ 包含 $A$，表示若事件 $A$ 发生事件 $B$ 一定发生
2. 事件 $A\cup B$ 被称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的和事件。
3. 事件 $A\cap B$ 被称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的积事件。又记作 $AB$。
4. 事件 $A-B$ 表示事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生。
5. 若 $A\cap B=\varnothing$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 是互不相容的，或互斥的。
6. 若 $A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=S$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互为逆事件，又称对立事件。事件 $A$ 的逆事件表示为 $\overline{A}$，$\overline{A}=S-A$。

事件运算的定理

1. 交换律：$A\cup B= B\cup A$,
   $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\cap B= B\cap A$.
2. 结合率：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$,
   $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
3. 交换率：$A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)$,
   $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$.
4. 德摩根率：$\overline{A\cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}$,
   $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overline{A\cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}$.

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§3 频率与概率

概率的性质

设 $S$ 为随机实验 $E$ 的样本空间 $S$，$A,B,A_k(k=1,2,\cdots )$ 均为 $S$ 的子集。

性质1 $P(\varnothing )=0.$

性质2 对于互不相容的事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$，有

$$P(A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+ \cdots +P(A_k).$$

性质3 对于任意事件 $A,B$，若 $A\subset B$，则有

$$P(B-A)=P(B)-P(A). \\ P(B) \ge P(A).$$

性质4 $P(A) \le 1.$

性质5（加法公式） 对于任意事件 $A,B$ 有

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).$$

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§4 等可能概型（古典概型）

计算公式

设 $S$ 为随机实验 $E$ 的样本空间 $S$，$A$ 为 $S$ 的子集，则

$$P(A)=\frac{A 中包含的基本事件数}{S中包含的基本事件总数}.$$

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§5 条件概率

定义

设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$，称

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件概率。

乘法定理

根据条件概率的定义，可得
设 $P(A)>0$，则有

$$P(AB)=P(B\mid A)\ P(A).$$
上式被称为乘法公式。

划分

定义 设 $S$ 为试验 $E$ 的样本空间，$B_1,B_2,\cdots ,B_K$ 为 $E$ 的一组事件，若满足

1. $B_iB_j=\varnothing,\ i\not= j,\ i,j=1,2,\cdots ,k.$
2. $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_k=S.$

则称 $B_1,B_2,\cdots B_k$ 为样本空间 $S$ 的一个划分。

全概率公式

设 $S$ 为试验 $E$ 的样本空间，$A$ 为 $S$ 的子集，$B_1,B_2,\cdots B_k$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(B_i)>0\ (i=1,2, \cdots ,k)$，则有

$$P(A)=P(A \mid B_1)\ P(B_1)+P(A \mid B_2)\ P(B_2)+ \cdots +P(A \mid B_k)\ P(B_k).$$
上式称为全概率公式。

贝叶斯公式

设 $S$ 为试验 $E$ 的样本空间，$A$ 为 $S$ 的子集，$B_1,B_2,\cdots B_k$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(A)>0,P(B_i)>0\ (i=1,2, \cdots ,k)$，则有

$$P(B_i \mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(A \mid B_i)\ P(B_i)}{\sum_{j=1}^{k} P(A \mid B_j)\ P(B_j)},\ i,j=1,2, \cdots ,k.$$
上式称为贝叶斯公式。

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§6 独立性

定义

设 $A,B$ 为两事件，若

$$P(AB)=P(A) \ P(B)$$
则称 $A,B$ 相互独立，简称 $A,B$ 独立。

定理

定理1 若 $A,B$ 相互独立，且 $P(A)>0$，则 $P(B \mid A)=P(B).$

定理2 若 $A,B$ 相互独立，则以下事件也相互独立

$$\overline{A},B\ \ \ A,\overline{B}\ \ \ \overline{A},\overline{B}$$