函数的微分 学习笔记

高等数学 数学 微分

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微分的定义

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一个邻域内有定义, 且点 $x_0+\Delta x$ 在此邻域内,
若因变量 $y$ 的增量

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
可以表示为
$$\Delta y=A\Delta x+o(x)$$
其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的数, $o(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小[1], 那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的, $A\Delta x$ 就叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处相应于自变量 $\Delta x$ 的微分, 记为 $dy$, 即
$$dy=A\Delta x.$$

函数可微的条件

在之前导数的学习笔记中我们就提到过, 函数 $y=f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 也可以用 $\frac{dy}{dx}$ 来表示. 现在我们知道, $dy$ 其实就是该函数的微分, 那么我们不免猜想, 函数的微分和导数是否有什么联系呢?

我们再来看到上面的式子

$$\Delta y=A\Delta x+o(x)$$

试着将两边同除一个 $\Delta x$, 得到

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A + \frac{o(x)}{\Delta x}$$

当 $x \to 0$ 时, 由于 $o(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小, 所以 $\frac{o(x)}{\Delta x}$ 一定会比 $\Delta x$ 更快地趋近于 $0$, 所以等式可以变为

$$A=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0).$$

我们发现, $A$ 其实就是函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数. 那么也可以说明, 当函数在某一点处可微, 那么该函数也一定在这一点处可导,

即, 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的必要条件是函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导.

那么我们再从反面来看, 若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, 则

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0).$$

根据极限与无穷小的关系 (见无穷小与无穷大的学习笔记 定理1), 可得

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) + \alpha.$$

同乘 $\Delta x$

$$\Delta y=f'(x_0)\Delta x + \alpha\Delta x.$$

其中, $f'(x_0)$ 是与 $\Delta x$ 无关的量, $\alpha\Delta x$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小, 所以, $f'(x_0)\Delta x$ 就是 $dy$. 因此, 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导是该函数在点 $x$ 可微的充分条件.

故: 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件 是 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导.

微商

上面我们已经得到, 函数的微分可以用导数来表示, 即

$$dy=f'(x)\Delta x$$
那么相应的, $f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}.$

思考一下, 若对自变量本身求微分, 即 $dx$, 会得到什么结果呢.

我的理解是, 可以把 $x$ 看做函数 $y=x$ 的因变量, 因为因变量等于自变量嘛, 那么对这个函数求微分其实就相当于对自变量本身求微分.

函数 $y=x$ 的导数显然是 $1$, 那么它的微分, 即 $dx$ 求可以表示为

$$dx=1*\Delta x=\Delta x.$$

因此, 函数 $y=f(x)$ 的导数可以表示为

$$f'(x)=\frac{dy}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$$

所以, 函数的导数又可以被称作微商.(两个微分的商?)

微分的集合意义

我们知道, 导数可以表示函数图像在点 $x_0$ 处的切线的斜率, 而微分就是这个斜率再乘上了 $x_0$ 的增量 $\Delta x$ ,其实就得到了这条切线在点 $x_0+\Delta x$ 处的函数值再减去 $y_0$ (就是 $y$ 在这条切线上的增量).
而当 $|\Delta x|$ 很小的时候, $dy$ 会与 $y$ 在原函数上的增量 $\Delta y$ 十分接近, 这时, 我们就可以用 $dy$ 来近似地代替 $\Delta y$, 这种方法叫做以直代曲.

其实 OI 中应该不太用得到这些几何意义, 但了解一下还是有助于对微分的理解, 毕竟图像会更直观一点.