homework_13两个通电圆环之间的磁场

计算物理
刘星辰

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背景介绍

两个通电的圆环，当圆环之间的距离等于圆环半径时产生的磁场如下图所示
图一，亥姆霍兹线圈周围磁感线示意图
这样的线圈称为亥姆霍兹线圈，在其内部的磁场接近匀强磁场。更近一步可以发现，更多的线圈组合可以使得内部磁场的均匀性提高。本文主要做两件事情：
1. 计算两个线圈的亥姆霍兹的磁场分布，
2. 分析线圈的距离与半径比例的改变对磁场分布的影响

双线圈的亥姆霍兹环的磁场分布

• 一般分析

由毕奥-萨伐尔定律：

$$d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{r}\times\vec{L}}{L^3}$$
经过计算可得空间任意点的磁场强度的表达式：
$$L_1^3=((x-rcos\theta)^2+(y-rsin\theta)^2+z^2)^{\frac{3}{2}},L_2^3=((x-rcos\theta)^2+(y-rsin\theta)^2+(z-r))^{\frac{3}{2}}$$
$$B_x=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi}[\frac{zrcos\theta}{L_1^3}+\frac{(z-r)rcos\theta}{L_2^3}]d\theta$$
$$B_y=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi}[\frac{zrsin\theta}{L_1^3}+\frac{(z-r)rsin\theta}{L_2^3}]d\theta$$
$$B_z=\int_{0}^{2\pi}\frac{\mu_0I}{4\pi}[\frac{-rsin\theta(y-rsin\theta)-rcos\theta(x-rcos\theta)}{L_1^3}+\frac{-rcos\theta(y-rsin\theta)-rsin\theta(x-rcos\theta)}{L_2^3}]d\theta$$

• 通过数值计算分析磁场分布

计算程序[1]
通过分析轴$x=y=0$上的磁场分布，来检验程序的正确性和精度。

图二，轴x=y=0上的磁场分布图其中将$\frac{\mu_0I}{4\pi}$取为1,线圈的半径和距离均为1

图三，轴x=y=1/2上的磁场分布图

图四，轴x=y=3/2上的磁场分布图

图五，轴x=y=1上的磁场分布图

图六，轴x＝0，z=0.5上的磁场分布图

图六，轴x＝0，z=0.5上的磁场分布图

图七，z=0.5平面上的磁场分布

线圈的距离与半径比例的改变对磁场分布的影响

图八，不同的距离半径比下的X＝Y＝0轴上的磁场分布

小结

参考文献与致谢