homework_12太阳系中的共振

计算物理
刘星辰

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背景介绍

根据离太阳的远近来观察小行星的的分布，可以得出如下图所示的结果。

图片来源[1]
小行星在某些分布密集的位置出现空缺，这些空缺被命名为kirkwood gaps 。其中kirkwood gaps出现的位置正好是小行星的周期与木星的周期呈整数比的位置。这些空缺的存在不难联系到晶体中电子的能带结构。进一步地行星，木星和太阳构成的体系可以仿照非简并微扰论的处理方法。本次作业主要从数值和解析的角度探讨kirkwood gaps出现的原因和kirkwood gaps的宽度。

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木星附近小行星的共振现象

木星附近小行星的运动

解析计算的过程及结果参考[2]，主要的结论例举如下：

$$\Delta \omega \approx2\sqrt{2}(n-m)^2|C_{mn}|\mu a^{m-\frac{1}{2}}\epsilon^{m-n-2}$$ $$|\Delta a_{mn}|=\frac{2}{3}a^{5/2}\Delta\omega_{mn}\times5.2AU$$
数值计算的基本方法
其中木星的运动方程：（忽略行星对于木星的影响）
$$\frac{GM_sM_J}{r_{s,J}^3}\vec{r_{s,J}}=M_J\vec{a_{J}}$$
行星的运动方程：
$$\frac{GM_sm_a}{r_{s,a}^3}\vec{r_{s,a}}+\frac{GM_Jm_a}{r_{J,a}^3}\vec{r_{J,a}}=m_a\vec{a_{a}}$$

在直角坐标系方程的具体形式:
$$\frac{GM_s}{(x_J^2+y_J^2)^{3/2}}(0-x_J)=a_{x,J}$$ $$\frac{GM_s}{(x_J^2+y_J^2)^{3/2}}(0-y_J)=a_{y,J}$$ $$\frac{GM_J}{((x_J-x_a)^2+(y_J-y_a)^2)^{3/2}}(x_J-x_a)+\frac{GM_s}{(x_a^2+y_a^2)^{3/2}}(0-x_a)=a_{a,x}$$ $$\frac{GM_J}{((x_J-x_a)^2+(y_J-y_a)^2)^{3/2}}(y_J-y_a)+\frac{GM_s}{(x_a^2+y_a^2)^{3/2}}(0-y_a)=a_{a,y}$$
行星轨道的计算程序

kirkwood gaps的具体分析

在$2/1gaps$附近行星的运动情况分析,可以明显看出在kirkwood gaps附近行星的轨道会出现大的偏离，出现共振现象。

2/1 kirkwood gaps处的共振示意图

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小结

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参考文献及致谢