homework_10封闭区域中的碰撞问题

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内容简介

本文主要讨论可以视为质点的刚性球在不同的封闭边界下发生弹性碰撞的运动轨迹，此时质点运动规律为牛顿力学。并通过分析质点的运动轨迹给出混沌出现的条件，利用Vpython动态展示质点的运动。最后以环形边界为例，比较在不同的物理情境下质点的运动情形，具体包括：粒子带一个单位正电荷，且环形区域中有匀强磁场

正文

基本原理

• 质点与边界发生弹性碰撞时速度的改变

$$\vec{v_{i,\bot}}=(\vec{v_{i}}\cdot\hat{n})\hat{n},\vec{v_{i,\rVert}}=\vec{v_{i}}-\vec{v_{i,\bot}}......(10-1)$$ $$\vec{v_{f,\bot}}=-\vec{v_{i,\bot}},\vec{v_{f,\rVert}}=\vec{v_{i,\rVert}}......(10-2)$$

设边界在碰撞点的法向量为$\hat{n}=a\hat{i}+b\hat{j}$

$$\vec{v_i}=v_{i,x}\hat{i}+v_{i,y}\hat{j}......(10-3)$$ $$\vec{v_f}=v_{f,x}\hat{i}+v_{f,y}\hat{j}......(10-4)$$
将(10-4)，(10-3)代入(10-1)，(10-2)可得：
$$v_{f,x}=(1-2a^2)v_{i,x}-2abv_{i,y}$$ $$v_{f,y}=(1-2b^2)v_{i,y}-2abv_{i,x}$$

• 在经典情形下质点的运动
  $$\frac{dx}{dt}=v_{x},\frac{dy}{dt}=v_{y}......(10-)$$

计算程序1

在矩形边界中的碰撞



圆形边界

相空间图像


在y=0扫描的相空间图像

破缺的圆形边界
计算程序2






椭圆边界
椭圆方程为$x^2+\frac{y^2}{18}=1$

环形边界，即大圆里面套小圆
$x^2+y^2=1,x^2+y^2=4$

• 带电粒子在匀强环形磁场中的运动

计算程序

• vpython 展示

未完待续

参考文献与致谢

• Computational Physics, Nicholas J. Giordano & Hisao Nakanishi

• How to think like a computer scientist -- Learning with Python: Interactive Edition 2.0

• Python图表绘制：matplotlib绘图库入门

• latex数学符号表