欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

数学方法——数论
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这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。

欧拉函数

介绍

欧拉函数写做$\varphi[x]$，表示$0$到$x$中与$x$互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数$p$）：

$$\left\{ \begin{aligned} \varphi[p]=p-1\ --------------①\\ \varphi[i*p]=p*\varphi[i]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i\bmod p==0)---②\\ \varphi[i*p]=(p-1)*\varphi[i]\ \ \ \ \ (i\bmod p\ne0)---③ \end{aligned} \right.$$
据说还有一个总的公式：$\varphi[n]=n*\prod(1-\dfrac{1}{a_i})$ ($a_i$是$n$的质因子)

怎么求

线性筛所有欧拉函数

我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来（根据上面的引理）
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。笑哭.$jpg$
（去掉和$phi$数组有关的就是线性筛素数了）
背板子吧，其实也容易理解

void Prepare_Phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;++i)
    {
        if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
        for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
            if(i*pri[j]>M)break;
            if(!(i%pri[j]))
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
                break;
            }else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
        }
    }
}

根号求单个欧拉函数

il lst euler(rg lst x)
{  
    rg lst ans=x,tp=sqrt(x);  
    for(lst i=2;i<=tp;++i)  
        if(x%i==0)  
        {  
            ans=ans-ans/i;  
            while(x%i==0)x/=i;   
        }  
    if(x>1)ans=ans-ans/x;  
    return ans;  
} 

欧拉定理

有了欧拉函数做坚实的后盾
讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当$a,n$互质时

$$a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod\ n)$$ 不知道怎么用对吧，那这样：
如果$a,n$互质，那么有 $\ a^{\varphi(n)}\%n==1$
也就是 $a^{\varphi(n)}$ 与 $n$ 互质

最有用的？ $a^b\equiv a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)$

PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作降幂，后面讲

扩展欧拉定理

嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面$a,n$不互质了

$$a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.$$

降幂(应用草鸡广的)

根据上面两个定理的公式结合起来

$$a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\\ a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.$$ 其实我们完全可以不用用到第一个
思考一下
是不是对于一个问题求$a^b (\bmod\ n)$
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
$yep$降幂成功
给个例题吧：洛谷P4139 上帝与集合的正确用法
代码你要吗？不要我也给你，虽然丑

#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
    int s=0,m=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}
int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=M;++i)
    {
        if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
        for(int j=1;j<=tot;++j)
        {
            if(i*pri[j]>M)break;
            if(!(i%pri[j]))
            {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
                break;
            }else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
        }
    }
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
    lst ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod,y>>=1;
    }return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
    if(mod==1)return 0;
    return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}
int main()
{
    Prepare_Phi();
    Q=read();
    while(Q--)
    {
        int p=read();
        printf("%lld\n",Solve(p));
    }
    return 0;
}

那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。
毕竟我是个菜鸡嘛