莫队总结

算法——莫队
我学的时候 大米饼的莫队
既然学了这个神奇的东西，那我就来简单地总结一下

闲话要听

首先放一个例题： luogu 小B的询问
其实就是小z的袜子的弱化版。。。虽然网上都拿小z的袜子作模板讲，但是还得小小推个式子我当时学的时候就比较烦。。。
行吧，这两题的核心部分是一模一样的，你会发现小B的询问的答案就是小z的袜子的答案的分子。。。

无修改普通莫队

行吧我们入正题了
我现在说的莫队都只是无修改的莫队啊。。。
不需要觉得这个东西很难，虽然它并不简单。。。

前置

• 想学莫队你首先得了解分块，不会出门左转度娘
• 使用莫队需要满足以下条件：
  
  1. 区间查询问题且可以离线(当然不带修改)
  2. 可以根据$(l,r)$的答案推出$(l-1,r),(l,r-1),(l+1,r),(l+1,r+1)$
     例如上面的例题：(拿$(l,r)到(l-1,r)$来讲)
     

     • 维护一个$sum[]$数组表示每个数在当前询问区间的出现次数，$v[i]$表示$i$位置上的数
       那么 $Ans=\sum_1^K sum[i]$
       
     • 所以每次Update的时候可以做到$O(1)$完成
       
       1. $Ans$减去$sum[v[l-1]]^2$
       2. $sum[v[l-1]]$减少一个
       3. $Ans$加上$sum[v[l-1]]^2$

实现

1. 对被操作序列分块(先理解为按$\sqrt n$分块吧)(先记下来，别问为什么！)
2. 把所有的询问记录下来，按左端点排序，若左端点相同则按右端点排序
   注意，这里不是直接排序，我们把左端点是否相同定义为是否在同一个块内
   也就是说： 左端点按它所在块的编号排序，若两个左端点在同一个块内，则按右端点排序
3. $O(m)$枚举询问，做完了。。。(你暂时当我放屁)

解释一下为什么

不用多说，一切的一切都是为了保证复杂度，所以我们来推一下时间复杂度

1. 首先最外层肯定得枚举$m$个询问(已经排好序)，我们用$l,r$指针代表当前询问所在区间
2. 看一下$l$的移动复杂度：
   - $l$在同一个块内移动：每个询问最多$\sqrt n$
   - $l$不在同一个块内移动： 每个询问最多$2\sqrt n$
   总的来说就是$m\sqrt n$
3. 然后是$r$的移动复杂度：
   - 对于每一个块，r最多移动n次，我们又有$\sqrt n$个块
   那么复杂度是$n\sqrt n$
4. n和m的数量级一般差不多，所以整个莫队的复杂度就是$n\sqrt n$滴辣

总结

怎么拓展上面也说了，怎么操作也就这样了，相信你依旧是懵的对不对，那我再总结一下

1. 分块 对后面的作用可以往上再看一下
2. 排序 对于所有询问我们做了排序，是为了保证我们的答案跟着询问拓展时的复杂度正确
3. $O(1)$地实现拓展 这个上面我应该讲的比较清楚了吧(当然每道题不同)

那么应该还是比较清晰了吧
几道题目练练手
luogu 小B的询问 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2709
luogu 小Z的袜子 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1494
luogu 异或序列 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4462