土地征用题解(兼斜率优化详解)

动态规划——斜率优化
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博客食用（阅读体验）：eternal风度的土地征用
这不是以题解为最主要目的的博客谢谢
重点是帮助理解斜率优化

链接题目：洛谷土地征用
这里有$dp$的各种优化。。。
这里是$Flash Hu$的dp优化博客

前期处理及一些小性质

我们这里直接把土地理解成一些矩形，显然如果一个大矩形可以把另一个小矩形包含住，那个小矩形肯定会被并购掉，可以直接不考虑，就要去掉
那么可以在$O(nlogn)$的复杂度内解决掉：

按高度从大到小排序，如果当前的宽度比之前最宽的宽度要小，显然不要；如果要大，就加进需要考虑的矩形数组里，顺便更新宽度最大值

    int L=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(ljl[L].w<ljl[i].w)ljl[++L]=ljl[i];//ljl是定义的矩形的结构体。。。
    n=L;

现在我们得到了一个高度单调递减，宽度单调递增的矩形序列对吧
那么是不是很容易发现一定是把一段下标连续的矩形并购更优
简单证明一下：如果并购不连续，那么中间那个断开的高度一定小于前一段，宽度一定小于后一段，把它并购到这一段不连续的里面不会产生费用，所以这种决策不会更差，只会更优。。。

$dp$部分

有前面的那个简单性质，可以考虑$dp$了
设$dp[i]$表示买完前i块矩形的最小费用
显然有$dp$方程：$dp[i]=min_{j=2}^i${$dp[j-1]+h[j]*w[i]$}
表示我们把区间$[i,j]$上的矩形并购了

斜率优化

由来

直接做肯定是$O(n^2)$的复杂度
考虑优化
那么假设我们有$j$和$k$两个可能的转移状态，不妨设$j>k$
那么假设决策$j$比决策$k$更优，我们看要满足什么条件

$$dp[j-1]+h[j]*w[i]<=dp[k-1]+h[k]*w[k]$$ 合并同类项化简之后会得到
$$\frac{dp[j-1]-dp[k-1]}{h[j]-h[k]}=>w[i]$$ 嗯？这个式子怎么这么眼熟？这就是为什么我们叫他斜率优化

实现

是不是只要满足上面那个式子，决策$j$就一定优于决策$k$
那么我们把$(h[j],dp[j-1])$看做一个点,那么上面式子的左边可以看做点$j$和$k$的斜率
而由于$w[i]$是单调不降的
所以我们的那个斜率要求单调递增（相等的话决策结果一样就不考虑了），并且大于等于$w[i]$对吧
这个可以用单调队列来维护
在队尾每次把点$i$加入其中，条件是与队尾的点斜率大于队尾与队尾-1的点(维护斜率单调递增)
在队首每次查询，条件是队首的斜率满足要求（大于$w[i]$(同样相等不考虑了)）
可能讲起来还很抽象，借助代码。。。
$calc$是按照上面的“斜率”定义来求斜率的函数
$k[tl-1]$表示队列中$Q[tl-1]$与$Q[tl]$的斜率
$ljl[i].w$就是$w[i]$辣。。。定义一个结构体而已。。。

    int hd=1,tl=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(hd<tl&&k[tl-1]>=calc(i,Q[tl]))--tl;
        k[tl]=calc(i,Q[tl]),Q[++tl]=i;
        while(hd<tl&&k[hd]<ljl[i].w)++hd;
        dp[i]=dp[Q[hd]-1]+ljl[Q[hd]].h*ljl[i].w;
    }

汇总

可能需要结合整个代码和这个题来理解。。。
PS：如果还有不懂评论区留言吧。。。

#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 50050
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
    int s=0,m=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}
int n;
ldb k[N];
int Q[N];
lst dp[N];
struct Land{lst h,w;}ljl[N];
bool cmp(const Land &a,const Land &b){return a.h==b.h?a.w>b.w:a.h>b.h;}
ldb calc(int x,int y){return (dp[x-1]-dp[y-1])/(ljl[y].h-ljl[x].h);}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ljl[i]=(Land){read(),read()};
    sort(ljl+1,ljl+n+1,cmp);
    int L=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(ljl[L].w<ljl[i].w)ljl[++L]=ljl[i];
    n=L;int hd=1,tl=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(hd<tl&&k[tl-1]>=calc(i,Q[tl]))--tl;
        k[tl]=calc(i,Q[tl]),Q[++tl]=i;
        while(hd<tl&&k[hd]<ljl[i].w)++hd;
        dp[i]=dp[Q[hd]-1]+ljl[Q[hd]].h*ljl[i].w;
    }printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}