@Junlier
2018-09-22T14:21:16.000000Z
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图论——树的直径
嗯,上次考试才发现自己连树的直径都只会......(弱到家了......)
树的直径是树上的最长路
没错,真的这么简单......
- 先随便找个点i开始,然后找到一条最长路径(假设终点是)
- 然后从u开始再一次,再找到一条最长路径(假设终点是),就是树的直径了......
PS:树的直径可以有多条(想想定义就知道)
假设树的直径是,第一次找到
如果我们找到了树的直径的一端,那么第二次就一定可以找到树的直径对吧
那么证明转化成了第一次是否找到了树的直径的一端
PS:建议自己手动画棵树来一边看着证明 效果更佳
- 反证法:
- 如果找到的
(i,j)
不是(i,u)
,那么(i,j)
一定可以和(i,v)
拼成另一条更长路(j,v)
(因为(i,j)>=(i,u)
而等于正印证了上面讲到的多条直径),所以与假设(u,v)
是最长路不符,那么猜想的方法成立
- 首先肯定可以和最长路上的一个点(从到最长路最先遇到的点)连通对吧
- 我们假设是最长路距离较远的一个末端,那么从找出去的最长路一定会到
- 证明:如果
(i,j)
不是(i,u)
(即(i,j)>(i,u)
),那么(i,j)+(i,k)>(j,u)
,即我们找到了另一条(j,k)>(j,u)
,那么说明我们假设的直径(u,v)
又可以被更长的(k,v)
更新,假设不成立,那么猜想成立,证明完毕
综上所述,两遍可以找到树的直径
而树的直径在很多图论题里面是很有用的,这种方法就保证了我们的时间复杂度O(n)
为我们其他计算提供了更优的复杂度空间。。。