康托展开

数学方法——数论

一、定义

来自网络的定义：

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建hash表时的空间压缩。设有n个数$(1,2,3,4,...,n)$，可以有组成不同($n!$种)的排列组合，康托展开表示的就是是当前排列组合在n个不同元素的全排列中的名次。

通俗来讲：

假设有一个排列{1,2,3,4,5}，需要你在它的全排列中，找到排名第m的那个排列
全排列的顺序就是字典序越来越大的排列，和我们的next_permutation()函数的顺序一样

二、怎么实现？

首先，放一个很重要的公式(暂时不需要理解，后面慢慢就懂了)：

$$X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!$$
其中 $!$ 是阶乘的意思
我们再看一个表格
你先不管它的康托展开那一栏，根据后面的讲解再看

排列组合	名次	康托展开
123	1	0 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0!
132	2	0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0!
213	3	1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0!
231	4	1 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0!
312	5	2 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0!
321	6	2 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0!

思考一下
为什么当前数列是排在第x位而不是更靠前？
是不是因为有大数字占领了前面的小数字的位置，把小数字挤到了后面的位置上，所以字典序变大了
这个可以理解吧
那么，我们来考虑每个大数字对整个排列的编号的影响

• 如果有一个数v[j]在v[i]后面且比v[i]小(也就是(v[j]<v[i]&&i<j))
  那么这个“大”数字就一定会使这个排列的排名(康托展开值)造成影响(变大)
• 根据上表的展开部分
  位置在i位(这里是指倒过来的第i位)上的数后面有ss个比它小的数，那么我们可以认为它占领了!(i-1)*ss个排列顺序。
  为什么呢，拿出纸笔，随便找个例子，把它单独影响而占领的那几个排列列出来看一看就一目 了然了(我就是这么懂的)
• 不可能马上就可以明白，对着上面的表格全部算一遍吧

再举个例子：
在（1，2，3，4，5）5个数的排列组合中，计算 34152的康托展开值。

1. 首位是3，则小于3的数有两个，为1和2，a[5]=2，则首位小于3的所有排列组合为 a[0]*(5-1)!
2. 第二位是4，则小于4的数有两个，为1和2，注意这里3并不能算，因为3已经在第一位，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此a[4]=2
3. 第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以a[3]=0
4. 第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以a[2]=1
5. 最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以a[1]固定为0根据公式：
   X = 2 * 4! + 2 * 3! + 0 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0!
   = 2 * 24 + 2 * 6 + 1
   = 61

所以比 34152 小的组合有61个，即34152是排第62。

代码实现就很简单了(其实找后面有几个比v[i]小有各种方法log(n)!)

    for(int i=1;i<=n;++i)//注意这里i全部是正着枚举的
    //所以下面的jc处是n-i
    {
        int ss=0;//意思同上
        for(rg int j=i+1;j<=n;++j)//找后面比v[i]小的
            if(v[j]<v[i])ss++;
        num+=ss*jc[n-i];//jc是阶乘(预处理好的数组)
    }
    num++;//加上1是显然的(61个在我前面，那我就排62)

三、补充：逆康托展开

其实和康拓展开差不多，总体思想很简单，再用一下上面的例子，我们通过34152的一系列计算得到了62,那我们肯定可以根据62倒退回去，具体如下：

• 首先肯定把62减回去到61才好算 ^_^
• 然后：
  1.用61/(!4)=2余13，说明a[5]=2,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
  2.用13/(!3)=2余1，说明a[4]=2，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
  3.用1/(!2)=0余1，说明a[3]=0，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
  4.用1/(!1)=1余0，说明a[2]=1，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
  5.最后一位自然就是剩下的数2啦。
  6.通过以上分析，所求排列组合为 34152。

恩，那个代码我打的纯暴力

    num--;
    for(rg int i=1;i<n;++i)
    {
        rg int kk=num/jc[n-i]+1;//向上面讲解里那样计算
        //+1不用解释吧，x个比我小，我就是第x+1个
        rg int z=0;//计录当前到第几小了
        num=num%jc[n-i];//同上
        for(rg int j=1;j<=n;++j)//找没有用过(没有排在左边)第kk小的数
        {
            if(!b[j])z++;//没用过
            if(z==kk)
            {
                printf("%d ",j);//就是你了
                b[j]=1;break;//标记用过
            }
        }
    }
    //暴力到极致了吧……

四、题目

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