网络流题目详讲+题单(提高版)(持续更新中......)

图论——网络流
PS：如果你觉得自己还不够强(和我一样弱)，可以去入门版看看

写在前面的话(潦草)

• 这篇博客不会讲定义，理解啊什么的，那些知识点网络上......仅仅是题目详讲
  但是每一道题的题解和知识点还是会涵盖的
• 笔者还很菜，还有很多不会，只是想让自己会了的题目大家更容易懂
• 建议使用博客右边的主题切换，换成夜间模式可能看起来更舒服(随性)
• 笔者根据自己的感受(也有一定参考性的)给题目编了个难度，有主观色彩，可以根据实际需要来选择

前置知识点：

网络流题目详讲(入门版)

题目来了：

PS:若无特殊说明，均为luogu上的题目，难度有标记

网络最大流/一般增广路(Dinic&EK)

• ☆☆☆最小路径覆盖问题(网络流24题)(其实有些地方把这个模型当板子了......)

  1. 首先需要看懂题目(没错，我看了很久)，是让很多条不相交的路径去覆盖所给的图，问最少要多少条并输出它们。
  2. 然后需要证明一个东西：我们一开始把每个点看做一条路径，考虑路径合并的问题，每两条路径首尾相连接起来是不是路径数就会减一？(显然)。而我们会要尽量减少它们的数量。
  3. 想一下怎么可以求出点可以连起来的路径的数量最小值，根据上面2提到的那一点，我们就可以考虑把可以合并的点数全部求出来，再拿总点数去减，是不是就是我们要求的答案了？
     那么问题就转化为了求哪些点可以“合并”。然后再往后看，嗯，标签是网络流，就考虑建图跑吧。
  4. 有了上面的基础应该就不难想了，把每个点分开成两个，X[i]与源点S连容量为1的边，Y[i]与汇点T连容量为1的边(每个点只能在一条路径上)，然后数据读入的边X[i] --1--> Y[j]这个毋庸置疑了吧。最后跑Dinic求最大流就行了就行了(我建议把样例的图根据我讲的画出来容易理解，其实不难)
  5. 最后考虑怎么输出路径，很容易想到，在Dinic的DFS过程中可以记录每个点流向的那个点(就是会在原图上相连的点，标记一下每一条“输出边”的开头位置，暴力跳着输出就ok)
     实在不行还是一边看代码吧

• ☆☆☆洛谷 P1344 [USACO4.4]追查坏牛奶

  1. 首先这个题很容易理解，就是求最小割，在满足最小割的基础上使割的边数尽量少
  2. 剩下的就是一个小套路了
     把所有边的容量改成$c*1001+1$，然后跑一遍最大流最小割
     最小割就是$Ans/1001$，割的边数就是$Ans$%$1001$
  3. 为什么这样跑出来就是对的呢
     首先这样改动边的容量的话，任一两条边容量谁大谁小没有改变吧(不等式的性质。。。)
     然后对于$Ans*1000$我们可以理解为原来的了流量，$+1$可以理解为割掉边造成的流量
  4. 然后这种题今后就可以当网络流简单题了。。。

难题开始

• ☆☆☆☆☆奶牛隐藏(最大流(费用流是错的))

  这道题要讲的话真的太累了，而且不想放图也很难讲懂，所以......(敬请谅解)
  但是相信我，同机房有个神犇Flash Hu巨佬在洛谷里发了一篇题解，讲的贼JB好
  这里再提供他的博客地址(打个广告yeh)：https://www.cnblogs.com/flashhu/

• 最长不下降子序列问题(网络流24题)

费用流

• ☆☆☆☆☆洞穴遇险

  1. 难度很大，我一开始并不会做，听了zkj的讲解才会做的(我是真的弱)
  2. 首先必须要想尽一切办法把那个三角柱抽象成一条路径(从一个端点进经过转口(支撑部位)再从另一个端点出)，抽象完之后会好理解很多......
  3. 一个不需要脑子的地方：我们的三角柱转角肯定放在i+j为奇数的地方
  4. 开始建图：(i+j为奇数简称奇数点，偶数点同理)
     首先，我很不幸地告诉你，这个题目要把点排成四列，而且......我理解了很久才懂
     
     • 首先奇数点和偶数点肯定是要分开的对吧(毋庸置疑)，那么我将会把奇数点和偶数点分别排成两列(先别问为什么，网络流的建边从来没有为什么，都是套路，对了就行)
     • 然后奇数点肯定要拆点(因为会产生贡献，所以要对自己连边)，我们把这两列放在四列点的中间两列(说了抽象成路径，奇数点是要在石头的转角处被经过的，路径中间)
     • 偶数点的话 (PS：不管我bb什么，这段话都是偶数点)：
       你会发现一个性质："石头"路径肯定是从一个奇数列(或者偶数列)上的偶数点连到欧数列上的另一个偶数点(奇数点)，总之就是起点和终点的列数奇偶不同(yeh，简单明了)，所以把奇数列的点放在左边(放右边是一样的)，再把偶数列放在右边，我们就强制好了出口和入口(左右是对称的，没有区别)
     • 考虑连边：
       ①首先，上面已经说过了，中间的两列奇数点分别自己对自己连一条流量为1，费用为点权的边
       ②其次，对于所有的偶数点，从源点向第一列每个点连一条流量为1费用为0的边，从第四列向汇点连一条流量为1费用为0的边
       ③最后，相邻的点肯定要连边对吧，从第一列向这个点在图上相邻的点(一定在第二列中的)连容量为1，费用为0的边，第三列向第四列连边也同理
  5. 不用想了，套板子，跑一个最大费用最大流，最后拿所有点的点权之和减掉就是答案了(因为我们求得的是最大覆盖住多少)
  6. 你问我要代码？不行，得让你先经历痛苦，再去看洛谷的题解的代码吧
     (其实就是码的太丑了怕丢人)

预流推进算法(一种新的很吊的求最大流的方法，据说非常优秀)

网络流题目需要注意的地方

PS：代码尚未过编译，现场手打的，有错误请指出
PS：有些凌乱，凑合着看

Part1 一定要记得

1. 建边时的"反边容量0"和"反边费用负"

il void add(rg int p,rg int q,rg int o,rg int w)
{//o为容量，w为费用(变量丑)
    ljl[++cnt]=(EDGE){q,hd[p],o, w},hd[p]=cnt;
    ljl[++cnt]=(EDGE){p,hd[q],0,-w},hd[q]=cnt;
}

2. EK算法记录前驱并处理情况的跳点情况

    int flow=Inf;
    for(int i=T;i!=S;i=ljl[pre[i]^1].to)
        flow=min(flow,ljl[pre[i]].c);
    tot+=flow,ans+=flow*dis[T];
    for(int i=T;i!=S;i=ljl[pre[i]^1].to)
        ljl[pre[i]].c-=flow,ljl[pre[i]^1].c+=flow;

3. 当前弧优化记得每次都要重新赋值cur

while(BFS())
{
    for(int i=1;i<=n;++i)cur[i]=hd[i];//<--
    while(lst res=dfs(1,n,Inf))ans+=res;

4. 跑Dinic分层时dep[S]一定要赋值为1，不然死循环

    Q.push(S),dep[S]=1;//<--

5. 增广路时数组清零(还有数组的边界)

其实边界的话，我一般把S放在0号节点，T放在最后的节点，循环的时候就会顺手很多

    //Dinic的BFS
    for(int i=S;i<=T;++i)dep[i]=0;//<--
    //费用流的SPFA
    for(int i=S;i<=T;++i)dis[i]=Inf;//<--跑最大费用则为-Inf
    while(!Q.empty())Q.pop();
    dis[S]=0,Q.push(S),in[S]=1;

6. 费用流和最大流都可以跑环

Part2 技巧

看看xzy的，很详细啊