模拟退火学习

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引入

对于一些题目，无法直接算出答案或者想不到正解，想到随机找答案，那么模拟退火就是一种有系统方法的随机算法

用途

1. 数据范围不大但爆搜显然过不了的题目
2. 有一定的求解规律但又不完全符合规律的题目
3. 多峰函数题或者算数几何之类的题目
4. 题目想不出，退火总比爆0好的题目

没用的不需要了解的来源

百度百科......
模拟退火算法来源于固体退火原理，是一种基于概率的算法，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

几个要记下来的东西

1. 温度：大概理解为答案的波动范围，看是否会接受不那么好的解
2. 爬山算法：找很多个答案起点，遇到峰值就记录答案，最后找最大(小)答案

主要思想

• 把当前答案看成一只退火兔，一开始很急躁(温度很高)，所以答案到处乱跑(这中间会记录最优解)，最后兔子慢慢冷静下来(温度逐渐降低)，就找到答案
• 利用rand来寻找答案接受劣解的波动范围(当然T也是一个决定性参数)
• 退火找答案之后，可能会有更优答案在自己周围很近的地方，所以rand去周围看一看是否更优
• 一开始根据自己的猜测来找一个答案“开始”点，可以降低一定时间复杂度......

板子

我只讲大致的思想，具体实现根据模板题及luogu的题解讲述来学习吧
主要是懒

first

luogu板子题平衡点/吊打xxx
然后，我的优美代码......

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#define rg register
#define il inline
#define lst long long
#define ldb long double
#define cold 0.99
#define N 1050
#define RD T*((rand()<<1)-RAND_MAX)//rand一个-T到T的数,随机跳多远
#define Time() (ldb)clock()/(ldb)CLOCKS_PER_SEC
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int n;
ldb ansx,ansy,ans;
ldb etlx,etly,etl;
struct WEI{
    ldb x,y,m;
}ljl[N];
il int read()
{
    rg int s=0,m=0;rg char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}
il ldb f(rg ldb xx,rg ldb yy)
{
    rg ldb res=0;
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
    {
        rg ldb dx=xx-ljl[i].x,dy=yy-ljl[i].y;
        res+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*ljl[i].m;
    }
    return res;
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    n=read();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%Lf%Lf%Lf",&ljl[i].x,&ljl[i].y,&ljl[i].m);
        ansx+=ljl[i].x,ansy+=ljl[i].y;
    }
    etlx=ansx=ansx/n,etly=ansy=ansy/n;
    etl=ans=f(ansx,ansy);
    while(Time()<0.3)
    {
        rg ldb nans=etl,nx=etlx,ny=etly;
        for(rg ldb T=1000;T>=1e-16;T*=cold)
        {
            rg ldb xx=nx+RD,yy=ny+RD;//模拟退火答案的波动范围
            rg ldb res=f(xx,yy);//找答案的ans
            if(ans>res)ans=res,ansx=xx,ansy=yy;//更新答案
            if(nans>res||exp((res-nans)/T)*RAND_MAX<rand())
                nans=res,nx=xx,ny=yy;
        }
    }
    printf("%.3Lf %.3Lf\n",ansx,ansy);
    return 0;
}

second

有难度，luogu均分数据

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#define rg register
#define il inline
#define lst long long
#define ldb long double
#define N 25
#define M 10
#define Time() (ldb)clock()/(ldb)CLOCKS_PER_SEC
using namespace std;
const int Inf=1e5;
int n,m;
ldb tot,ans=Inf;
ldb v[N],sum[N];
ldb dp[N][N];
il int read()
{
    rg int s=0,m=0;rg char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return m?-s:s;
}
il ldb PF(rg ldb x){return x*x;}
il ldb sol()
{
    for(rg int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+v[i];
    for(rg int i=0;i<=n;++i)
        for(rg int j=0;j<=m;++j)dp[i][j]=Inf;
    dp[0][0]=0;
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
        for(rg int j=1;j<=m;++j)
            for(rg int k=0;k<i;++k)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+PF(sum[i]-sum[k]-tot));
    ans=min(ans,dp[n][m]);
    return dp[n][m];
}
il void SA(rg ldb T)
{
    rg ldb nans=ans;
    for(;T>1e-3;T*=0.98)
    {
        rg int xx=1+rand()%n,yy=1+rand()%n;
        if(xx==yy)continue;
        swap(v[xx],v[yy]);
        rg ldb res=sol();
        if(res<nans||exp((res-nans)/T)*rand()-RAND_MAX<0)nans=res;
        else swap(v[xx],v[yy]);
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
        v[i]=read(),tot+=v[i];
    tot/=m,sol();
    while(Time()<0.3)
        SA(1000);
    printf("%.2Lf\n",sqrt(ans/m));
    return 0;
}