公司金融公式总结

金融学

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货币的时间价值

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单利：

$$FV=PV\times (1+nr) \tag 1$$

复利：

$$FV=PV\times (1+r)^n \tag 2$$

一项多期投资的现值的一般计算公式可以写为：

$$PV=\frac{C_T}{(1+r)^T} \tag 3$$

其中，$C_T$是在T期的现金流量,$r$是适用的利率
$\frac{1}{(1+r)^T}$被叫做现值系数（Present Value Factor），缩写为PVIF(r,t)。“T期后得到的1元钱的现值（现值系数）”。

一项多期投资的终值的一般计算公式可以写为：

$$FV = C_0\times(1 + r)^T \tag 4$$

其中，$C_0$是时间0的现金流量，$r$是适用的利率，$T$ 是现金投资的时期数
$(1 + r)^T$被叫做终值系数（Future Value Factor），缩写为FVIF(r,t)。

期数

$$t=\frac{ln(\frac{FV}{PV})}{ln(1+r)} \tag 5$$

贴现率

$$r=(\frac{FV}{PV})^{\frac{1}{T}}-1 \tag 6$$

计算多笔现金流的现值

$$PV=\frac{C_1}{(1+r)}+\frac{C_2}{(1+r)^2}+\frac{C_3}{(1+r)^3}+\cdots+\frac{C_T}{(1+r)^T}\tag 7$$
$$PV=\sum^T_{t=1}\frac{C_t}{(1+r)^t}\tag 8$$

普通年金现值公式

$$PV=\frac{C}{r}\times[1-\frac{1}{(1+r)^T}] \tag 9$$

普通年金终值公式

$$FV=PV\times (1+r)^T=\frac{C}{r}[(1+r)^T-1]\tag {10}$$

预付年金现值公式

$$PV=A[\frac{1-(1+r)^{-(n+1)}}{r}+1]=A[\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}](1+r)\tag {11}$$

预付年金终值公式

$$FV=A[\frac{(1+r)^{n+1}-1}{r}-1]=A[\frac{(1+r)^n-1}{r}](1+r)\tag {12}$$

预付年金终值和现值比普通年金终值和现值多了一期的利息

永续年金

$$PV=\frac{C}{r} \tag {13}$$

增长年金（增长有期限）

$$PV=\frac{C}{r-g}[1-(\frac{1+g}{1+r})^T] \tag {14}$$

永续增长年金

$$PV=\frac{C}{r-g} \tag {15}$$

如果在T年中每年对一项投资复利 m 次，则在T期末的财富终值将为：

$$FV=C_0\times (1+\frac{r}{m})^{m\times T} \tag {16}$$

年利率(Annual Percentage Rate)又称报价利率：r
实际年利率(Effective Annual Rate)：$[1 + r / m]^m – 1$

$$EAR=[1+\frac{APR}{m}]^m-1 \tag {17}$$
$EAR$有效年利率,$APR$年度百分率,$m$一年的计息次数

有效年利率的上限

$$\lim_{m \to +\infty} (1+\frac{APR}{m})^m=e^{APR} \tag {18}$$

连续复利计息：在无限短的时间间隔按复利计息。
用 r 表示报价利率或年利率，在连续复利下：

$$EAR = e^r – 1 \tag {19}$$

连续复利计息T年后的终值：

$$FV = C_0×e^{rT} \tag {20}$$
其中：
$C_0$ 是时间0的现金流量,$r$ 是年度利率,$T$ 是现金投资的时期数,$e$ 是一个常数，大约等于 2.718。

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债券价值计算

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任意资产的价格应该等于该资产创造的现金流的现值之和

$$P_b=\frac{l_1}{1+r_b}+\frac{l_2}{(1+r_b)^2}+\cdots+\frac{l_n}{(1+r_b)^n}+\frac{F}{(1+r_b)^n} \tag {21}$$

$$P_b=\sum^n_{t=1}\frac{CF_t}{(1+r_b)^t} \tag {22}$$

$CF_t$代表第t期债券现金流量，主要指利息（I）和到期本金（F），$r_b$代表投资者要求的收益率或者债券资本成本。

零息债券:持有期没有利息支付，到期只有本金支付,以贴现方式发行，不附息票，而于到期日时按面值一次性支付本利的债券

$$PV=\frac{FV}{(1+y)^N} \tag {23}$$

息票债券

$$PV=\sum^n_{t=1}\frac{rF}{(1+y)^t}+\frac{F}{(1+y)^t} \tag {24}$$

其中，$r$为票面利率,$y$为贴现率

永续债券

$$PV=\frac{C}{y} \tag {25}$$

债券的内在价值是其理论价值，市场价格并不必然等于其理论价值。当市场价格等于其理论价值时，市场处于均衡状态。净现值法可以被用来作为投资决策的依据。

$$NPV=-P_0+\sum^N_{n=1}\frac{C_t}{(1+y)^t} \tag {26}$$

其中，$P_0$是债券的市场价格

NPV>0时，表明该债券被低估，可以买入；反之，该债券被高估，卖出（或卖空）。

债券的到期收益率是使得债券投资获得的现金流的现值等于其市场价格的折现率，即净现值为零时的折现率，也就是内部收益率（IRR）。到期收益率通常采用年化（annualizing returns）的形式，即到期年收益率，票面利
率指的也是年收益率。

$$P=\sum^n_{t=1}\frac{I}{(1+YTM)^t}+\frac{M}{(1+YTM)^n} \tag {27}$$

其中，P-债券市价，M-债券面值，I-每年利息，YTM-到期收益率，n-债券剩余期限。

到期收益率

$$Y_m=\frac{C+\frac{P_p-P_m}{N}}{\frac{P_p+P_m}{2}} \tag {28}$$

$P_p$为债券面值，$P_m$为当前债券价格，$N$为购买债券待债券赎回的日期，$C$为每年利息额

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股利贴现模型

单一持有期投资回报率

$$k=E(r_1)=\frac{P_1-P_0+D_1}{P_0} \tag {29}$$

$$P_0=\frac{D_1+P_1}{1+k} \tag {30}$$

持有两期的股票价值评估
第二期的红利和股票价格

$$P_1=\frac{D_2+P_2}{1+k} \tag {31}$$
$$P_0=\frac{D_1}{1+k}+\frac{D_2+P_2}{(1+k)^2}\tag {32}$$

持有n期的股票价值评估

$$P_0=\frac{D_1}{1+k}+\frac{D_2}{(1+k)^2}+L+\frac{D_n+P_n}{(1+k)^n}\tag {33}$$

股票价值评估一般模型

$$P_0=\frac{D_1}{1+k}+\frac{D_2}{(1+k)^2}+L \tag {34}$$

稳定增长股利贴现模型(公司价值)

$$P_0=\frac{D_1}{1+k}+\frac{D_1(1+g)}{(1+k)^2}+\frac{D_1(1+g)^2}{(1+k)^2}+L\tag {35}$$

$$P_0=\frac{D_1}{r-g} \tag {36}$$

稳定增长股利模型的两个推论
推论1：只要股利稳定增长，股票价格每年的上升比率将等于股利稳定的增长率
推论2：如果股利不会增长，则股票的价值等于未来预期的固定股利的贴现值之和，即为零增长股利贴现模型。

零增长股利贴现模型
零增长股利模型又称为股息不变模型，即预期未来的股利收入不会增长，且股利现金流会永远持续下去。其股票价值等于一个永续年金的现值。

$$P_0=\frac{D}{k} \tag {37}$$

股利增长率变化

$$P_0=\frac{C}{r-g_1}[1-\frac{(1+g_t)^N}{(1+r)^N}]+\frac{(\frac{Div_{N+1}}{r-g_t})}{(1+r)^N} \tag {38}$$

戈登模型
第t年股票价格

$$P_t=\frac{D_t(1+g)}{r-g}=\frac{D_{t+1}}{r-g} \tag {39}$$

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投资决策的方法

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净现值
将项目在整个寿命期内各期净现金流量按预定的目标收益率折现，其现值总和与初始投资额之差。

$$NPV=-CF_0+\sum^T_{t=1}\frac{NCF_t}{(1+r)^t} \tag {40}$$

• 对于独立项目,如果NPV>0，接受，如果NPV＜0，拒绝
• 对于互斥项目,NPV>0情况下,选择NPV最高的项目

回收期(PP)法
投资回收期是指收回初始投资所需要的年数。该指标可以衡量项目收回初始投资速度的快慢。

$$\sum^{P_t}_{t=0}CF_t=0 \tag {41}$$

若实际回收期小于预期假设回收期，接受项目，否则，拒绝。用作参照基准的设定回收期，由公司自行确定或根据行业标准确定。

静态回收期法

$$PP=n-1+\frac{|-CF_0+\sum^{n-1}_{t=1}CF_t|}{CF_n} \tag {42}$$

n:第n年累计净现金流量出现正值,$CF_n$：第n年项目净现金流量

$$DPP=n-1+\frac{|-CF_0+\sum^{n-1}_{t=1}NCF_t|}{NCF_n} \tag {43}$$
n:第n年累计净现金流量出现正值,$NCF_n$：第n年项目净现金流量的现值

内部收益率法
试错法

盈利指数法

$$PI=\frac{\sum^n_{t=1}\frac{NCF_t}{(1+i)^t}}{CF_0} \tag {44}$$

计算预期现金流的现值之和；
以现值之和除以初始现金流出额既为所求PI值；
判断PI值是否大于1,独立项目大于1则接受项目。
若多项目，则选择PI值大者。

销售百分比法
假定：
（1）企业的部分资产和负债与销售额同比例变化；
（2）企各项资产、负债与所有者权益结构已达到最优；

$$对外筹资需要量=\frac{A}{S_1}(\Delta S)-\frac{B}{S_1}(\Delta S)-EP(S_2) \tag {45}$$

或

$$对外筹资需要量=\frac{\Delta S}{S_1}(A-B)-EP(S_2) \tag {46}$$

A：销售变化的资产（变动资产）， B：销售变化的负债（变动负债），S1：基期销售额，S2：预测期销售额，△S：销售变动额，P：销售净利率， E：留存收益比率。

步骤：
1）预计销售额增长率；
2）确定随销售额变动而变动的资产和负债项目；
3）确定需要增加的资金数额；
4）根据有关财务指标的约束确定对外筹资数额。

线性回归法
线性回归法是假定资金需要量与业务量之间存在着线性关系，在建立数学模型后根据有关资料，用回归直线方程确定参数来预测资金需要的方法。其预测模型为：

$$Y=a+bx \tag {47}$$

Y—资金需要量；a—不变资金；b—单位产销量所需变动资金；x—业务量。

$$a=\frac{\sum x^2\sum y-\sum x\sum xy}{n\sum x^2-(\sum x)^2} \tag {48}$$

$$b=\frac{\sum y-na}{\sum x} \tag {49}$$

或

$$b=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2} \tag {50}$$

$$a=\frac{\sum y-b \sum x}{n} \tag {51}$$

计算步骤：
1）区分不变资本与可变资本
2）确定a，b数值，应利用预测年度前连续若干年的历史资料
3）将预计产销量代入原式，测得资本需要额。

债券定价的计算公式

$$债券发行价格=未来支付的利息现值+到期本金的现值=\sum^n_{t=1}\frac{票面金额\times 票面利率}{（1+市场利率）^t}+\frac{票面金额}{（1+市场利率）^t} \tag {52}$$