作业十一WaveCollision2D(matplotlib)

作业 Gauss-Seildel方法
许晗 2013301020084

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前言

波的运动与之前我们计算的问题有一点不同, 它是与时间有关的. 这里我研究的是理想情况(无摩擦, 完全柔性)波运动方程的数值模拟. 完成课本第6.6题, 展示了两个在2维平面上运动的波包的速度和形状在碰撞前后不变.
注:

• 没有调整参数使波包不散开, 也没有研究波的衰减.

正文

计算方法

与课本上156页到157页类似的讨论可以得到二维的波动方程:

$$\frac{d^2z_i}{dt^2}\approx(\frac{T}{\rho})(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}) \tag{1}$$
由于此时(1)式含时, 我们就不能完全套用用Chapter5解拉普拉斯方程的方法.
但是也类似: 设$x=i\Delta x, y=j\Delta y, t=n\Delta t$
i,j就相当于格点, n就相当于计算步数. 与Laplace方程的数值解类似有:
$$\frac{z(n+1,i,j)+z(n-1,i,j)-2z(n,i,j)}{(\Delta t)^2}\approx c^2\lbrack\frac{z(n,i+1,j)+z(n,i-1,j)-2z(n,i,j)}{(\Delta x)^2}+$$
$$+\frac{z(n,i,j+1)+z(n,i,j-1)-2z(n,i,j)}{(\Delta y)^2}\rbrack \tag{2}$$
上式中时间(步数)相关的项就有后一步(n+1),当前(n),前一步(n-1), 将后一步整理到(2)式一边:
$$z(n+1,i,j)=2z(n,i,j)-z(n-1,i,j)+\lbrace-r_x^2\lbrack 2z(n,i,j)-z(n,i+1,j)-z(n,i-1,j)\rbrack-$$
$$-r_y^2\lbrack 2z(n,i,j)-z(n,i,j+1)-z(n,i,j-1)\rbrack\rbrace \tag{3}$$
为了计算简便把令$\Delta x=\Delta y=0.01$, 计算范围是$[0,1]\times[0,1]$, 其中$r_{\alpha}=c_{\alpha}\Delta t/\Delta\alpha$

结果展示

两个高斯波包Z1和Z2, 相应参数:
$c_1=300,c_2=150$, 时间间隔为$dt=\Delta x/450$, 则$r_1 = \frac{2}{3},r_2 = \frac{1}{3}$.

• 单个波(.PNG)
  
• 两个波碰撞(.GIF)
  

结论

• 可以看出理想波动情况, 波包碰撞时叠加, 但在碰撞前后速度,振幅等性质不发生改变, 在边界发生反射.
  除此之外还有一些发现和猜想
  
  • 在$r=1$时, 计算就不稳定, 而不是书上那样高阶项忽略. 可能的原因有?
  • 在方盒子里的反射不像一维那样可以很快回到初始状态.(t=0.01s)
    
• 也可以用来研究波的衍射,
  
  • 例如在$y=0.5,x\not\in(0.45,0.55)$范围加上板子($z\equiv0$的条件).
    即, 单缝衍射(a=0.1m). 可以清楚看到右半边的出射波是球面波
    
  • 双缝衍射(d=0.09m).
    
  • 也可以把(1yz)面的强度最大值随y的变化收集起来得到衍射强度随角度变化的图像

附录

一维的波动可以参考刘文焘的作业