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粒子物理

Chapter3

b. 地球参考系中，粒子到达地面的运动时间为

$$t=frac{8000}{0.998\times3.0\times10^8}=2.67\times10^{-5}$$ 衰变时间是在粒子自身参考系算的。在该参考系中，
$$t^{'}=\frac{t}{\gamma},\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}$$ 又因为粒子寿命$\tau=2.2\times10^{-5}$，$t^{'}=1.68\times10^{-6}<\tau$，故能到达地面。

c. $\tau_{\pi}=2.6\times10^{-8}s$由b.中得到0.998c速度的粒子到达地面用时$t^{'}=1.68\times10^{-6}s>\tau_{\pi}$，所以不能。

3.16

B静止，碰撞前的四维动量$p^u_{tot}=(\frac{E_A+E_B}{c},\vec{p_A})$，因此：

$$p_{tot}^2=(\frac{E_A+m_Bc^2}{c})^2-p_A^2=\frac{E_A^2}{c^2}+2E_Am_B+m_B^2c^2-p_A^2$$
用不变关系式$\frac{E_A}{c^2}-p_A^2=m_A^2c^2$，得
$$p_{tot}^u{^2}=(m_B^2+m_A^2)c^2+2E_Am_B$$

在质心系，$p_{tot}^u '=((m_1+m_2+...+m_n)c, 0)=(Mc, 0)$

而$p_{tot}^u^{2}$在任何参考系都是守恒的，因此在质心系，和$p_{tot}^u '$有

$$(m_B^2+m_A^2)c^2+2E_Am_B=M^2c^2$$
$$E_A=\frac{(M^2-m_A^2-m_B^2)c^2}{2m_B}$$

3.17

$$E_A=\frac{((M^2-m_A^2-m_B^2)c^2}{2m_B}=\frac{M^2-m_A^2-m_B^2}{2m_B}$$
质量单位换成了$MeV/c^2$
a. $$M=2m_p+m_{\pi^0}=2(938.272)+134.977=2011.521$$
$$m_A=m_B=m_p=938.272$$
$$E_A=\frac{2011.521^2-2\times938.272^2}{2\times938.272}=1217.9MeV$$

b.

$$M=2m_p+m_{\pi^+}+m_{\pi^-}=2(938.272)+2(139.57)=2155.684$$
$$m_A=m_B=m_p=938.272$$
$$E_A=\frac{2155.684^2-2\times938.272^2}{2\times938.272}=1538.1MeV$$

c.

$$M=2m_p+m_{n}=2(938.272)+939.565=2816.109$$
$$m_A=m_{\pi^-}=139.57; m_B=m_p=938.272$$
$$E_A=\frac{2816.109^2-139.57^2-938.272^2}{2\times938.272}=3746.6MeV$$

d.

$$M=m_{K^0}+m_{\Sigma^0}=497.65+1192.64=1690.29$$
$$m_A=m_{\pi^-}=139.57; m_B=m_p=938.272$$
$$E_A=\frac{1690.29^2-139.57^2-938.272^2}{2\times938.272}=1043MeV$$

e.

$$M=m_p+m_{\Simga^+}+m_{K^0}=938.272+1189.37+497.65=2625.292$$
$$m_A=m_B=m_p=938.272$$
$$E_A=\frac{2625.292^2-2\times938.27^2}{2\times938.272}=2734.5$$

3.18

先使后一个反应保证$K^-$的能量最小,

$$M=m_{\Omega^-}+m_{K^0}+m_{K^-}=2663.33$$
$$E_K=\frac{M^2-m_p^2-m_K^2}{2m_{K^-}}=3181MeV$$
第一个反应要满足入射粒子能量最小，那么产物$K^-$的动量与入射粒子同向: $p^u_1+p^u_2=p^u_c+p^u_K$. 移项，平方有：
$$p_1^u{^2}+p_K^u{^2}-2p_1^u\cdot p_K^u=p_2^u{^2}+p_c^u{^2}-2p_2^u\cdot p_c^u$$
$$p_K^u{^2}-2p_1^u\cdot p_K^u=p_c^u{^2}-2p_2^u\cdot p_c^u$$
由四维动量的定义式: $p^u=(\frac{E}{c},\vec{p})$得
$$m_K^2c^2-2(\frac{EE_K}{c^2}-p_1\cdot p_K)=m_c^2c^2-2(\frac{E_cm_pc^2}{c^2}-0) \tag{*}$$
$p_1,p_K$方向相同得$p_1\cdot p_K=|p_1||p_K|$，而
$$|p_1|=\sqrt{E^2/c^2-m^2_pc^2};|p_K|=\sqrt{E_K^2/c^2-m^2_Kc^2}\equiv\frac{a}{c}$$
由能量守恒得到：$E_C=E+m_pc^2-E_K$, 从而代入()式
$$a\sqrt{E^2-(m_pc^2)^2}-EE_K=\frac{1}{2}[(m_c^2c^4-m_K^2c^4]-m_pc^2(E+m_pc^2-E_K)$$
简写成
$$a\sqrt{E^2-(m_pc^2)^2}=E(E_K-m_pc^2)+b \tag(**)$$
这里的$b\equiv\frac{1}{2}[(m_c^2c^4-m_K^2c^4]+m_pc^2(E_K-m_pc^2)$
式(*)平方得到E的二次方程组
$$E^2[a^2-(E_K-m_pc^2)^2]-2bE(E_K-m_pc^2)-[b^2+a^2m_p^2c^4]=0$$
由a,b的表达式可以得到$a=3150 , b=4.7914\times10^6$。上式代入数值得
$$E^2(4.8927\times10^6)-E(2.1492\times10^{10})-(3.1693\times10^{13})=0$$
$$E^2-E(4392.7)-(6.4776\times10^6)=0$$
$$E=\frac{1}{2}(4392.7\pm6723.6)$$
E应该取正数，故$E=5558.1\RightarrowT=4619.8$

3.19

a. 动量守恒$p^u_A=p^u_B+p^u_C$，移项并平方: $p^u_C^2=p_A^u{^2}+p_B^u^{2}-2p^u_A\cdot p^u_B$

由A静止的条件，有$vec{p_A}=0,E_A=m_Ac^2$，由四维动量的定义有：

$$p_i^u{^2}=m_i^2c^2, p_A^u\cdot p_B^u=\frac{E_AE_B}{c^2}-p_A\cdot p_B$$ 代入动量守恒式得：
$$m_C^2c^2=m_A^2c^2+m_B^2c^2-2m_AE_B$$ 所以
$E_B=\frac{m_A^2+m_B^2-m_C^2}{2m_A}c^2$，类似的

$E_C=\frac{m_A^2-m_B^2+m_C^2}{2m_A}c^2$

b. 由$E_B^2=p^2_Bc^2+m_B^2c^4$，写出$p_B$的表达式

$$|p_B|=\frac{c}{2m_A}\sqrt{m_A^4+m_B^4+m_C^4-2m_A^2m_B^2-2m_A^2m_C^2-2m_B^2m_C^2}=\frac{c}{2m_A}\sqrt{\lambda(m_A^2,m_B^2,m_C^2)}$$

c. 这种$m_A<m_B+m_C$情况下，由于能量守恒，这种衰变被禁止。

3.20

a. $E_{\mu^-}=109.8MeV; E_{\nu}=29.8MeV$
b. $E_{\gamma}=67.5MeV$
c. $E_{\pi^+}=248.1MeV; E_{\pi^0}=245.6MeV$
d. $E_p=943.6MeV; E_{\pi^-}=172.1MeV$
e. $E_A=1135MeV; E_{K^+}=536.6MeV$

3.22

a. 最小值是B粒子静止的能量$E_{min}=m_Bc^2$。最大值取在与3.18题类似的条件，即C,D,...每个粒子的动量均朝一个方向，可以看作质量为$M=m_C+m_D+...$的整体。由3.19的结论得到

$$E_{max}=\frac{m_A^2+m_B^2-M^2}{2m_A}c^2$$

b. 忽略中微子的质量，把相应的数值代入a.中的两个式子给出 $E_{min}=m_ec^2=0.51099MeV$, $E_{max}=\frac{m_{\miu}^2+m_e^2}{2m_{\miu}}c^2=52.831MeV$

3.25

a. 直接计算
$s+t+u=\frac{1}{c^2}[(p_A+p_B)^2+(p_A-p_C)^2(p_A-p_D)^2]$

$=\frac{1}{c^2}[p_A^2+2p_A\cdot p_B+P_B^2+p_A^2-2p_A\cdot p_C+p_C^2+p_A^2-2p_A\cdot p_D+p_D^2]$

$=\frac{1}{c^2}[m_A^2c^2+m_B^2c^2+m_C^2c^2+m_D^2c^2+2p_A\cdot (p_A+p_B-p_C-p_D)]$

由动量守恒$p_A+p_B-p_C-p_D=0$，上式化成

$$s+t+u=m_A^2+m_B^2+m_C^2+m_D^2$$

b. s的表达式给出:

$$sc^2=p_A^u{^2}+2p_A^u\cdot p_B^u+p_B^u{^2}=p_A^u{^2}+2(\frac{E_AE_B}{c^2}-p_A\cdot p_B)+p_B^u{^2}$$
质心系下：$p_A\cdot p_B=-p_A^2$，
$$p_A^u{^2}=\frac{E_A^2}{c^2}-p_A^2\Rightarrow p_A^2=\frac{E_A^2}{c^2}-p_A^u{^2}=-p_A\cdot p_B$$
$p_B^u{^2}=\frac{E_B^2}{c^2}-p_B^2=\frac{E_B^2}{c^2}-p_A^2$
就写出$E_B$的表达式：
$$\frac{E_B}{c}=\sqrt{p_B^u{^2}+p_A^2}=\sqrt{p_B^u{^2}+\frac{E_A}{c^2}-p_A^u{^2}}$$

$$sc^2=p_A^u{^2}+2(\frac{E_A}{c}\sqrt{p_B^u{^2}+\frac{E_A^2}{c^2}-p_A^u{^2}}+\frac{E_A^2}{c^2}-p_A^u{^2})+p_B^u{^2}$$
$$sc^2+p_A^u{^2}-p_B^u{^2}-2\frac{E_A^2}{c^2}=2\frac{E_A}{c}=2\frac{E_A}{c}\sqrt{p_B^u{^2}+\frac{E_A^2}{c^2}-p_A^u{^2}}$$
两边取平方，得到$E_A$：
$$E_A^2=\frac{(sc^2+p_A^u{^2}-p_B^u{^2})^2}{4s}$$
把$p_A^u,p_B^u$代入：
$$E^{CM}_A=\frac{(s+m_A^2-m_B^2)c^2}{2\sqrt{s}}$$

c. 在B静止的实验室系：$p_B=0,E_B=m_Bc^2$，因此

$$sc^2=p_A^u{^2}+2(\frac{E_AE_B}{c^2})+p_B^u{^2}=m_A^2c^2+2m_BE_A+m_Bc^2$$
$$E^{lab}_A=\frac{(s-m_A^2-m_B^2)c^2}{2m_B}$$

d. 在质心系，$(p_A^u+p_B^u)^2=(E_A/c+E_B/c)^2=E_{tot}^2/c^2$

结合s的表达式，得到：$E_{tot}^{CM}=\sqrt{s}c^2$

3.26

有$p_A^u=(\frac{E_A}{c},\vec{p_A})$,$p_B^u=(\frac{E_B}{c},\vec{p_B})$:

代入$s=\frac{1}{c^2}(p_A^u{^2}+p_B^u{^2})得$$s=\frac{1}{c^2}[(\frac{E_A+E_B^u}{c})^2-(p_A+p_B)^2]$$质心系下：$p_A=-p_B$,$E_A=E_B=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$，因此：$$s=\frac{1}{c^2}(\frac{4(p^2c^2+m^2c^4)}{c^2})=\frac{4(p^2+m^2c^4)}{c^2}$$t=\frac{1}{c^2}(p_A-p_C)^2=\frac{1}{c^2}[(E_A-E_C)^2/c^2-(p_A-p_B)^2]$$又因为全同粒子弹性碰撞，设$E_A=E_C$,则$(p_A-p_C)^2=p_A^2+p_C^2-2p_A\cdot p_C=2p^2(1-cos\theta)$，得到$$t=\frac{-2p^2(1-cos\theta)}{c^2}$$由3.25的t+s+u的关系得到：$$u=\frac{-2p^2(1+cos\theta)}{c^2}$$

3.27

设入射光子能量为E，初射为E'，

设光子散射方向与入射方向成$\theta$角电子散射方向与光线传播方向成$\phi$角。

动量守恒：

$p_esin\phi=p_{\gamma}sin\theta$，得$sin\phi=\frac{E^'}{cp_e}sin\theta$

$\frac{E}{c}=p_{\gamma}cos\theta+p_ecos\phi$

把一式代入得
$\frac{E}{c}=\frac{E^'}{c}cos\theta+p_e\sqrt{1-(\frac{E'}{p_ec}sin\theta)^2}$

$$\RightarrowE-E'cos\theta=\sqrt{p_ec^2-(E'sin\theta)^2}$$
能量守恒：
用到动量守恒的结论消去$p_e^2c^2$
$$E+mc^2=E'+\sqrt{m^2c^4+p_e^2c^2}=E'+\sqrt{m^2c^4+E^2-2EE'cos\theta+E'^2}$$
整理得
$$mc^2(E-E')=EE'(1-cos\theta)$$
代入$E'=\frac{hc}{\lambda '}$, $E=\frac{hc}{\lambda}$

$$mc^2hc(1/\lambda-1/\lambda ')=\frac{h^2c^21}{(\lambda\lambda ')}(1-cos\theta)$$
$$\lambda '=\lambda+\frac{h}{mc}(1-cos\theta)$$