(继续)作业六Chaos(matplotlib)

作业 单摆 Euler-Cromer方法

---

程序目的

• 用matpoltlib分析混沌现象。
  
  • 外力驱动的非线性摆。
  • 初值的影响。
  • 作出$\Omega$随$\theta$变化的图。
    
    • 提取特征：1. 吸引子；2. 驱动力的周期
• "Determined?" or "Unpredictable?"

---

计算方法和结论

Euler-Cromer方法:

各个参数与作业五定义一样。

$$\omega _{i+1}=w_i-[\frac{g}{l}\theta_i -q\omega_i+F_D sin(\Omega_D t)]\Delta t \tag 1$$
$$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t \tag 2$$
$$t_{i+1}=t_i+\Delta t \tag 3$$
重复足够次数。

找到吸引子

• 每隔驱动力$F_D$的一个周期取一对点画到$\Omega-\theta$图像中，即在时间$t = 2n\pi/\Omega_D$取点，其中$n$是正整数。这样得到的图像也称为"Poincaré section"。这种图像上忽略了周期的处理方法可以类比人眼可以分辨的最小帧数，这样动画制作者只需要绘出特定时刻的图像↓。
  

• (1)式中的参数取：$g=l=9.8$, $q=0.5$, $\Omega_D=2./3.$, $F_D=1.2$; 初始条件$\theta_0=0.2$(rad), $\omega_0=0$
  对于如何在整周期取值：由于根据参数知道在$t = 3\pi$的时间点取值。有两种做法：
  (1) 设置误差范围$\Delta t$，则对满足$|t-2n\pi/\Omega_D|<\Delta t /2$时间点取值；
  (2) 设置计算间隔为含$\pi$的参数。比如$dt = 0.1\pi$或$dt = 0.01\pi$。

• 下图选择上述第二种方法。下图计算间隔分别为$dt = 0.01\pi$与$dt = 0.1\pi$，取的点数均为500个。
  

可以看出，两种计算间隔带来的差异不大，吸引子的位置在$\omega=-0.5$附近。但是在吸引子内部，计算间隔更小的吸引子一圈圈的结构更清晰。

---

• 改变驱动力的频率。下图从左上角顺时针读依次为$\Omega_D=2./3.+[+0.001, +0.01, -0.001, -0.01]$，计算间隔为$dt=0.1\pi$

可以看出频率的微小改变就可以使吸引子消失。但是大部分点的分布仍然在一些特定的区域

• 改变驱动力的振幅。下图下图从左上角顺时针读依次为$\Omega_D=1.2+[+0.01, -0.1, -0.01, +0.1]$，计算间隔为$dt=0.01\pi$

可以看出吸引子对振幅的变化不如对外力频率那样敏感。但是仅$10\%$的相对变化也能使混沌状态消失。
这就说明单摆的混沌运动所要求的条件十分苛刻。