作业八Binary_Stars(Vpython, matplotlib)

2013301020084 许晗
作业 双星 Euler-Cromer方法 Vpython

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摘要

本次为第八次作业-chapter4_problem4.7，讨论了双星系统在不同质量比的情况下的运动轨道。VPython对双星运动轨道进行了实时展示。最后在matplotlib中，找出轨道交点等。

正文

两个天体在万有引力作用下运动时，若两天体质量接近，形成双星系统。

计算方法

设万有引力公式中万有引力常数G=1，

$$\vec{a}_{m,i+1} = \frac{M_i}{| \vec{r}_{m,i} -\vec{r}_{M,i}|^2}\vec{s} \tag 1$$
$$\vec{v}_{m,i+1} = \vec{v}_{m,i} + \vec{a}_{m,i+1}\Delta t \tag 2$$
$$\vec{r}_{m,i+1} = \vec{r}_{m,i} + \vec{v}_{m,i+1}\Delta t \tag 3$$
把ｍ, Ｍ的交换就能得到计算Ｍ轨迹的方程。

临界初速度

• 圆周运动
  设折合质量$\mu = \frac{Mm}{(m+M)}$, 质心系下，两者的运动半径为：
  

  $$r_m = \frac{M}{m+M} | \vec{r}_{m,0} -\vec{r}_{M,0}|; r_M = \frac{m}{m+M} | \vec{r}_{m,0} -\vec{r}_{M,0}| \tag 4$$
  当向心力与引力相同时可以求出：
  $$v_{m,0} = \sqrt{\frac{M}{m | \vec{r}_{m,0} -\vec{r}_{M,0}|}\mu} \tag 5$$
  $$v_{M,0} = \sqrt{\frac{m}{M | \vec{r}_{m,0} -\vec{r}_{M,0}|}\mu} \tag 6$$

• 不闭合轨道
  系统总能量大于０:
  

  $$\frac{1}{2}Mv_M^2+\frac{1}{2}mv_m^2-\frac{Mm}{| \vec{r}_{m,0} -\vec{r}_{M,0}| }> 0 \tag 7$$

计算结果与分析

1. M/m = 2，保持圆轨道，可以看出两天体绕同一点旋转的半径比为1:2。
   
2. M/m = 100，保持圆轨道，可以看出中心天体的运动相比与外圈轻一些的天体很小。
   
   
   从第二幅图像看出，整体上中心星体朝着外部星体的初速方向运动。
3. 令M的初速为０，找到第二宇宙速度。
   由(7)式，取初始距离为100，m=50, M=100m得到
   $$v_m^2 > 100$$
   取初速的平方为9.9和10.01模拟得到：
   
   
   可以看出逃逸速度在9.9和10.01之间，与理论计算相符合。
4. 令两者都具有初速，形成椭圆轨道，找到交点。
5. 引力弹弓？
   调整质量比为100，计算时间为5秒，初速0.1 unit/s:
   
   
   从坐标图中看出速度大于2500 unit/s.

致谢

参考了刘文焘(2013301020085)的程序。