负油价与手把手推导古老的Bachelier公式【基本无害】

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转自 公众号：量化金融科技前沿，链接如下：
https://mp.weixin.qq.com/s/z5IFhuVImFndfbKyjaPicA

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（I）

芝加哥商品交易所（CME）为了应对负价格，决定采用古老的期权定价公式 Bachelier 公式。今天说说 Bachelier 公式长什么样子吧。

注意看上面的这张截图，说的是 CME 为了解决负价格问题，决定采用 Bachelier 公式。

下面先看看 Bachelier 的欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价公式：

$$C(S_{t}, t; K, T) = \left[ S_{t}e^{-D(T - t)} - Ke^{- r(T - t)} \right]\Phi(d) + \hat{\sigma}\Phi^{'}(d)$$

$$P(S_{t}, t; K, T) = \hat{\sigma}\Phi^{'}(-d) - \left[ S_{t}e^{-D(T-t)} - Ke^{-r(T-t)} \right]\Phi(-d)$$

$$d = \frac{S_{t}e^{-D(T-t) - Ke^{-r(T-t)}}}{\hat{\sigma}}$$

$$\hat{\sigma} = \sigma\sqrt{\frac{e^{-2D(T-t) - e^{-2r(T - t)}}}{2(r - D)}}$$

其中，

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}u^{2}}du$$

$$\Phi^{'}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$

BSM 模型不能使用的主要原因是，公式中有 $log(S/K)$，$K$ 如果为负，则无法使用了。但是，Bachelier 模型就不会出现这种情况。

但是也需要澄清一下，如果 Bachelier 模型真的好，那肯定我们早就用了，之所以不用它，是因为 Bachelier 模型假设标的物价格在真实物理世界（也就是 $P$ - 测度下）满足算数布朗运动（这种假设非常不正确）。CME 现在使用 Bachelier 模型，简直就是头痛医头，脚痛医脚，病入膏肓乱用药的感觉。赶走老虎，也可能是引来狼。饮鸩止渴。

总之，还是希望我们中国人都敬畏知识吧。我们公众号一直倡导要敬畏金融知识，不是要你盲从，要你熟悉金融资产定价公式（最好闭上眼，就能默写出来），更需要知道每个定价公式的模型风险。不知道模型风险，不知道交易所用的哪个定价公式，你这是跟钱开玩笑，钱肯定跟你开玩笑。

希望金融机构的交易部以后招人的时候还是让应届生们当众推导定价公式，少问些虚无飘渺的宏观货币经济学的知识。口若悬河回答出来 LPR 对经济的传导机制这类问题的，在这个“百年未有之大变革”的时代，真不如当场手撕 BSM 公式的，盲眼敲代码，心算机器学习算法的。

未来的路，我们要少扯淡，多关爱会手撕定价公式、裸写定价公式代码的“nerd小孩们”，他们才是中国金融的未来。

否则 ...... 否则 ...... 某行的某宝的事情，每过几年就会出一次。
不断犯错，不断不总结（也不会总结），然后再犯错，再 ...... 再 ...... 再 ......

“秦人不暇自哀，而后人哀之；后人哀之而不鉴之，亦使后人而复哀后人也。”

（II）

下面再看看 Bachelier 的欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价公式，
然后我们开始手撕公式。

首先，Bachelier 模型假设：标的无价格 $S_{t}$ 满足算数布朗运动，即：

$$dS_{t} = (\mu - D)dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{P}}$$

$$\Rightarrow S_{T} = S_{t} + (\mu - D)(T - t) + \sigma \left( dW_{T}^{\mathbb{P}} - dW_{t}^{\mathbb{P}} \right)$$

利用 Girsanov 定理（见以前推文的结果），易知：

$$dS_{t} = (r - D)S_{t}dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{Q}}$$

由以前推文结果概述：

于是若 $D \neq 0$, 且 $\mu_{t}$ 和 $r_{t}$ 为常数，则有：

$$dS_{t} = (\mu - D)dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{P}}$$

且 $dW_{t}^{\mathbb{Q}} = dW_{t}^{\mathbb{P}} + \lambda dt$，则有：

$$dS_{t} = (\mu - D)dt + \sigma \left(dW_{t}^{\mathbb{Q}} - \lambda dt \right)$$

$$= (\mu - D - \lambda \sigma)dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{Q}}$$

利用前面的结果 $(r - D)S_{t} + \lambda \sigma = (\mu - D)$ 需始终相等，于是我们有：

$$\lambda = \frac{(\mu - D) - (r - D)S_{t}}{\sigma}$$

将其带入上式，我们有：

$$dS_{t} = \left\{ \mu - D - \sigma \left[ \frac{(\mu - D) - (r - D)S_{t}}{\sigma} \right] \right\}dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{Q}}$$

$$dS_{t} = (r-D)S_{t}dt + \sigma dW_{t}^{\mathbb{Q}}$$

这很有趣吧！

然后

$$S_{T}|\left(S_{t} = s \right) \sim \mathcal{N} \left(e^{(r - D)(T - t)}s , \frac{\sigma^{2}}{2(r - D)}\left[e^{2(r - D)(T - t)} - 1 \right] \right)$$

我们不妨令：

$$m := e^{(r - D)(T - t)}s$$

$$\upsilon^{2} := \frac{\sigma^{2}}{2(r - D)}\left[e^{2(r - D)(T - t)} - 1 \right]$$

于是 $S_{T} | S_{t}$ 的概率密度函数为：

$$p^{\mathbb{Q}}\left( S_{T} | S_{t} \right)= \frac{1}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left[ -\frac{1}{2} \left(\frac{S_{T} - m}{\upsilon} \right)^{2} \right]}$$

欧式看涨期权的公式还是：

$$C(S_{t}, t;K, T) = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ max\{S_{T} - K, 0 \} | \mathcal{F}_{t} \right]$$

$$= \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{0}^{\infty} max\{S_{T} - K, 0 \} p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

$$= \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{0}^{K} max\{S_{T} - K, 0 \} p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T} + \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} max\{S_{T} - K, 0 \} p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

$$= 0 + \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} \left( S_{T} - K \right) p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

$$= \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} S_{T} p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T} - \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} K p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

$$= I_{1} - I_{2}$$

为了下一步推到的方便，我们在这里专门定义 $I_{1}$ 和 $I_{2}$，即：

$$I_{1} := \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} S_{T} p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

$$I_{2} := \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} K p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)dS_{T}$$

以上的推导和布莱克-斯科尔斯-莫顿（BSM）公式的推导完全一样，下面的推导开始不一样了，因为 Bachelier 模型的 $p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)$ 和 BSM 模型的 $p^{\mathbb{Q}} \left(S_{T} | S_{t} \right)$ 不一样。

下面将

$$p^{\mathbb{Q}}\left( S_{T} | S_{t} \right)= \frac{1}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left[ -\frac{1}{2} \left(\frac{S_{T} - m}{\upsilon} \right)^{2} \right]}$$

代入 $I_{1}$ 和 $I_{2}$。为计算方便，我们不妨在这里定义：

$$z := \frac{S_{T} - m}{\upsilon}$$

相应的取值范围如下：

$$S_{T} \in \left( K, \infty\right) \Rightarrow z \in \left( \frac{K - m}{\upsilon}, \infty\right)$$

于是我们有：

$$S_{T} = \upsilon z + m$$

$$dS_{T} = \upsilon dz$$

将他们带入 $I_{1}$ 中，我们可以得到：

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} S_{T} \frac{1}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left[ -\frac{1}{2} \left(\frac{S_{T} - m}{\upsilon} \right)^{2} \right]}dS_{T}$$

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{K}^{\infty} \left( \frac{S_{T}}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} \right) e^{\left[ -\frac{1}{2} \left(\frac{S_{T} - m}{\upsilon} \right)^{2} \right]}dS_{T}$$

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{\frac{K - m}{\upsilon}}^{\infty} \left( \frac{\upsilon z + m}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} \right) e^{\left( -\frac{1}{2} z^{2} \right)}dz$$

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \int_{\frac{K - m}{\upsilon}}^{\infty} \frac{\upsilon z}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left( -\frac{1}{2} z^{2} \right)}dz + \int_{\frac{K - m}{\upsilon}}^{\infty} \frac{m}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left( -\frac{1}{2} z^{2} \right)}dz$$

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} z\int_{\frac{K - m}{\upsilon}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\left( -\frac{1}{2} z^{2} \right)}dz + m\int_{\frac{K - m}{\upsilon}}^{\infty} \frac{1}{\upsilon\sqrt{2 \pi}} e^{\left( -\frac{1}{2} z^{2} \right)}dz$$

$$I_{1} = \frac{1}{e^{r\left( T-t \right)}} \left[ z\Phi(z) + m \Phi^{'}(z) \right]$$