Homework 14

张琦 2013301510086

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一、摘要

第十四次作业

• 作业 6.6 6.12 6.16

选择6.12，利用python解波动方程，并用对其结果进行进一步分析。

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二、背景介绍

研究弦在各种初始条件下的运动，不同的初始条件对运动的影响，并利用傅里叶变换进行分析不同观察点所得到的频谱的差别。

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三、正文

1.理论分析

作业6.12题

Gaussian initial string displacements are convenient for the calculations of this section, but are not very realistic. When a real string, such as a guitar string, is plucked, the initial string displacement is more accurately described by two straight lines that start at the ends of the string (we assume fixed ends) and end at the excitation point, as illustrated in Figure 6.4. Compare the power spectrum for a string excited in this manner with results found above for a Gaussian initial wavepacket.

波动方程为：

$$\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

经过推到，最终得到的递推公式为：

$$y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i,n-1)+y(i,n-1)]$$

其中 $r=c\Delta t/\Delta x$
边界条件为：

$$y(0,n)=y(M,n)=0$$

本文所有数值的单位均为国际单位制。

2.初始条件Gaussian pluck

程序的特性

• 采用以上方法求出Gaussian pluck作为初始条件时的图像
• 观察波形随着时间的变化
• 考察某一观察点处的纵坐标随时间的变化

初始条件的方程为：$y(x,0)=\exp[-k(x-x_0)^2]$，where $x_0=0.3m$
$c=300m/s,\, \Delta x=0.005m,\, t_{total}=0.1s$

开始一段时间内的波形图像：

在观察点（$x=0.05m$）处的图像：

以下是分别在（$x=0.05m,0.1m,0.4m,0.5m$)处的图像：




将一系列频谱放在一起：

3.初始条件Line pluck

初始条件的方程为：$y(x,0)=\begin{cases} \frac{y_0}{x_0}x, & 0\leq x\leq x_0 \\ \frac{y_0}{L-x_0}(x-x_0)+y_0, & x_0\leq x\leq L \end{cases}$
where $x_0=0.3m, y_0=1.0m$
$c=300m/s,\, \Delta x=0.005m,\, t_{total}=0.1s$

开始一段时间内的波形图像：

在观察点（$x=0.05m$）处的图像：

以下是分别在（$x=0.05m,0.1m,0.4m,0.5m$)处的图像：




将一系列频谱放在一起：

4.研究 2 Gaussian Pluck

观察两个高斯波包的效果与两个高斯波包分开研究的区别：
初始条件的方程为：$y(x,0)=\exp[-k(x-x_0)^2]+\exp[-k(x-x_1)^2]$，where $x_0=0.3m, x_1=0.6m$
$c=300m/s,\, \Delta x=0.005m,\, t_{total}=0.1s$

开始一段时间内的波形图像：

分开观察两个高斯波包与何在一起的区别:

5.分析

以下具体分析Line pluck，发现运行的时间越长，最后得到的结果频谱的宽度就越窄，峰越尖锐。并且不同的观察点所观测到的频谱也不一样。通过对上图的观察发现，越靠近两端，频谱的成分就越多。

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四、结论

Gaussian pluck 和Line pluck 在弦上不同位置的影响都不相同。

代码链接：Homework14 Code

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五、致谢

唯一的参考资料：
[1] Giodano, N.J., Nakanishi, H. Computational Physics. Tsinghua University Press, December 2007.