Homework 8

张琦 2013301510086

---

1.摘要

第八次作业

-选择 作业 3.8题

---

2.背景介绍

利用python，求出对于物理摆，角度与周期的关系。本次作业用图像表示角度与周期的关系。

---

3.正文

作业 3.8题

In the nonlinear pendulum of (3.17), use the Euler-Cromer or another suitable method to investigate the relationship between the amplitude and period numerically. Can you give an intuitive arguement supporting your results?

判断结果：摆角越大，周期越长。
理由：物理摆和数学摆的区别在于运动方程后面是否采用$sin\theta\approx \theta$。对物理摆而言，不采用近似导致恢复力偏小，于是使运动时间增加，也就是时间增加了。故摆角越大，对结果的影响越大。也就是摆角越大，周期越长。

根据课本（3.17），可知运动方程为：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\sin\,\theta$$

利用Euler-Cromer方法得到的递推关系：

$$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_i-\frac{g}{l}\sin\theta_i\,dt \\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\,dt \\ t_{i+1}=t_i+dt \end{cases}$$

根据以上递推公式，即可编写程序。本次作业重力加速度选用的是武汉当地数值$g=9.794m/s^2$，摆长选取$l=1m$，质量选取$m=1kg$。

---

3.1.最初编写的代码,用于测试

程序的特性

• 初步测试euler-cromer方法的误差，并观察能量的稳定性。
• 更改步长来观察对能量变化的影响。
• 具体对不同角度的运算请看下个程序。

程序的代码链接

效果图：

经分析可以得出，可以看出能量一直在一个比较小（2%）的范围内波动。并且发现更改步长对能量的波动没有任何影响。

---

3.2.观察角度与周期的关系

程序的特性

• 可以很直观的观察出各个角度对周期的影响
• 可以在具体的输出结果中初步判断周期的大概数值
• 在下一个版本中将给出更细致的角度与周期的关系

程序的代码链接

效果图：

无论从图像还是输出的结果中均能看出随着角度的增大，物理摆的周期也在增大。

---

3.3.给出角度与周期的关系图

版本特性

• 能够自动选取第十个周期（10T）时所用的时间来减小误差。
• 测量周期采用选取一段时间内的极大值方法，即选取角度达到极大值时的时间。
• 测量时间的方法仍然比较粗糙，有效数字比较少。
• 能够得到角度与周期的图像关系。
• 下一个版本将进一步优化并且精确周期的测量。

程序的代码链接

效果图：

角度与周期的关系

序号	角度$\theta (deg)$	角度$\theta (rad)$	周期$T (s)$
1	5	0.0872664625997	2.0086
2	10	0.174532925199	2.0115
3	15	0.261799387799	2.0163
4	20	0.349065850399	2.0231
5	25	0.436332312999	2.0318
6	30	0.523598775598	2.0426
7	35	0.610865238198	2.0555
8	40	0.698131700798	2.0706
9	45	0.785398163397	2.0879
10	50	0.872664625997	2.1076
11	55	0.959931088597	2.1298
12	60	1.0471975512	2.1546
13	65	1.1344640138	2.1822
14	70	1.2217304764	2.2127
15	75	1.308996939	2.2465
16	80	1.3962634016	2.2837
17	85	1.4835298642	2.3247
18	90	1.57079632679	2.3697

虽然选取的角度比较少，但是仍然能够得到比较明显的结果。

---

3.4.优化程序

版本特性

• 利用线性回归法得到周期，更加精确。
• 同时给出了r值和周期的公式。
• 给出更多角度，做出更精确的角度与周期关系图。

程序的代码链接

效果图：

运用线性回归得到的角度与周期的关系更加精确，然而发现对结果的影响并不大。

序号	角度$\theta (deg)$	角度$\theta (rad)$	周期$T (s)$
1	5	0.0872664625997	2.00862727273
2	10	0.174532925199	2.0115
3	15	0.261799387799	2.01632727273
4	20	0.349065850399	2.02304545455
5	25	0.436332312999	2.02304545455
6	30	0.523598775598	2.03184545455
7	35	0.610865238198	2.04262727273
8	40	0.698131700798	2.0555
9	45	0.785398163397	2.07062727273
10	50	0.872664625997	2.10762727273
11	55	0.959931088597	2.12981818182
12	60	1.0471975512	2.15462727273
13	65	1.1344640138	2.18218181818
14	70	1.2217304764	2.21277272727
15	75	1.308996939	2.2465
16	80	1.3962634016	2.28371818182
17	85	1.4835298642	2.3247
18	90	1.57079632679	2.36973636364

选取更多的角度（1-90°，间隔1°），得到的结果如图：

得到的角度与周期的关系较长，保存在这里，或者这里有更精确的(步长0.0001s)。从结果也可以看出，当达到0.1°这个精确度的时候，计算的精度已经不能满足计算周期的细微变化了。
对于其他的一些角度，可以通过直接输入到程序中计算或者根据结果来插值或者直接根据图像来得到对应的周期。

4.结论

对物理摆而言，角度越大，周期越长。

5.致谢

纯属原创，感谢课本以及Euler。