Homework 13

张琦 2013301510086

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一、摘要

第十三次作业

• 作业 5.3 5.7 5.16

选择5.7，利用pyhton解决偏微分方程问题。

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二、背景介绍

电势在空间中的分布服从拉普拉斯方程，利用数值算法可以解出该方程的解。

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三、正文

1.作业5.7题

Write two programs to solve the capacitor problems of Figures 5.6 and 5.7, one using the Jacobi method an done using the SOR algorithm. For a fixed accuracy (as set by the convergence test) compare the number of iteractions, $N_{iter}$, that each algorithm requires as a function of the number of grid elements, L. Show that for the Jacobi method $N_{iter}\text{~}L^2$, while with SOR $N_{iter}\text{~}L$.

电势的分布方程(3D)为：

$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$$
考虑二维问题方程为：
$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}=0$$
Jacobi方法：
$$V_{new}(i,j)=\frac{1}{4}[V_{old}(i+1,j)+V_{old}(i-1,j)+V_{old}(i,j+1)+V_{old}(i,j-1)]$$
simulataneous over-relaxation (SOR)方法：
$$\Delta V(i,j)=V^*(i,j)-V_{old}(i,j)$$
$$V_{new}(i,j)=\alpha \Delta V(i,j)+V_{old}(i,j)$$
$$\alpha \approx \frac{2}{1+\pi/L}$$

根据以上递推公式，即可使用python编写程序。所有数值单位均为国际单位制。

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2.测试程序，Jacobi算法

程序的特性code

• 采用基本的Jacobi算法
• 可以做出基本的图形
• 为了提高运算速度，减少了点的个数
• 由于pyton的多元数组的赋值方式比较奇特，因此在反复赋值的时候使用了一种比较巧妙并且复杂的方法，但是可以保证正确性

选取31*31个参考点，update次数为10次、100次、1000次。

效果图：

可以看出100次与1000次update的差别已经不大了，因此下一个程序使用数值来判断每次update对结果的影响。

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3.具体分析每次update的影响

程序的特性code

• 采用基本的Jacobi算法
• 计算每次update后，变化值相差的最大值
• 将差值做出图形并且给出数据来方便分析
• 通过分析得出最佳的update次数

0-1000次update效果图：

太多了，以下给出0-100的部分：

给出几个比较重要的值列表：

$Update\, times$	$\Delta V_{max}$
0	0.25
2	0.078125
23	0.00968354926584
302	9.90377764121e-06
595	9.85517079055e-09
1502	6.93889390391e-18
1503	0

也就是说Jacabi方法到1502次update后，在当前精度下无法继续提高了。

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4.分析Gauss-Seidel算法

程序的特性code

• 采用Gauss-Seidel算法
• 同样地通过分析得出最佳的update次数

通过运算得出，1054次update后，Gauss-Seidel方法继续提高了，结果得到的等势图完全形同，对比二者的update图形，发现刚开始Jacobi方法接近速度快，但update到一定次数后，Gauss-Seide方法接近结果更快，最终Gauss-Seide先到达所需结果。对比图如下：

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四、结论

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五、致谢

课本。