Homework 12

张琦 2013301510086

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一. 摘要

第十二次作业

作业 4.16 4.18 4.20

选择4.16题。
将太阳、木星和地球三个星体的运动看作三体问题来分析，并观察不同的木星质量下的轨道变化。

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二. 背景介绍

运用python来解决太阳、木星和地球三个星体运动的三体问题，并做出图像分析。

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三. 正文

1.理论分析

Carry out a true three-body simulation in which the motions of Earth, Jupiter, and the Sun are all calculated. Since all three bodies are now in motion, it is useful to take the center of mass of the three-body system as the origin, rather than the position of the Sun. We also suggest that you give the Sun an initial velocity which makes the total momentum of the system exactly zero (so that the center of mass will remain fixed). Study the motion of Earth with different initial conditions. Also, try increasing the mass of Jupiter to 10, 100, and 1000 times its true mass.

基本原理，根据课本CHAPTER 4，可知行星的受力方程为：

$$\begin{cases} F_{ej}=\frac{GM_JM_E}{r^2_{ej}} \\ F_{se}=\frac{GM_SM_J}{r^2_{se}} \\ F_{sj}=\frac{GM_SM_J}{r^2_{sj}} \\ \end{cases}$$
分量形式：
$$\begin{cases} F_{ej,x}=\frac{GM_J M_E(x_e-x_j)}{r^3_{ej}}\\ F_{ej,y}=\frac{GM_J M_E(y_e-y_j)}{r^3_{ej}}\\ F_{se,x}=\frac{GM_S M_E(x_s-x_e)}{r^3_{se}}\\ F_{se,y}=\frac{GM_S M_E(y_s-y_e)}{r^3_{se}}\\ F_{sj,x}=\frac{GM_S M_J(x_s-x_j)}{r^3_{sj}}\\ F_{sj,y}=\frac{GM_S M_J(y_s-y_j)}{r^3_{sj}}\\ \end{cases}$$

运动方程为：

$$\begin{cases} \frac{dv_{e,x}}{dt}=\frac{GM_S (x_s-x_e)}{r^3_{se}}+\frac{GM_J (x_j-x_e)}{r^3_{je}}\\ \frac{dv_{e,y}}{dt}=\frac{GM_S (y_s-y_e)}{r^3_{se}}+\frac{GM_J (y_j-y_e)}{r^3_{je}}\\ \frac{dv_{j,x}}{dt}=\frac{GM_E (x_e-x_j)}{r^3_{ej}}+\frac{GM_S (x_s-x_j)}{r^3_{sj}}\\ \frac{dv_{j,y}}{dt}=\frac{GM_E (y_e-y_j)}{r^3_{ej}}+\frac{GM_S (y_s-y_j)}{r^3_{sj}}\\ \frac{dv_{s,x}}{dt}=\frac{GM_J (x_j-x_s)}{r^3_{js}}+\frac{GM_E (x_e-x_s)}{r^3_{es}}\\ \frac{dv_{s,y}}{dt}=\frac{GM_J (y_j-y_s)}{r^3_{js}}+\frac{GM_E (y_e-y_s)}{r^3_{es}}\\ \end{cases}$$

其中：

$$\begin{cases} r_{se}=r_{es}=\sqrt{(x_s-x_e)^2+(y_s-y_e)^2}\\ r_{je}=r_{ej}=\sqrt{(x_j-x_e)^2+(y_e-y_j)^2}\\ r_{sj}=r_{js}=\sqrt{(x_s-x_j)^2+(y_j-y_s)^2}\\ \end{cases}$$

得到递推关系：

$$\begin{cases} r_{se}(i)=r_{es}(i)=\sqrt{[x_s(i)-x_e(i)]^2+[y_s(i)-y_e(i)]^2}\\ r_{je}(i)=r_{ej}(i)=\sqrt{[x_j(i)-x_e(i)]^2+[y_e(i)-y_j(i)]^2}\\ r_{sj}(i)=r_{js}(i)=\sqrt{[x_s(i)-x_j(i)]^2+[y_j(i)-y_s(i)]^2}\\ v_{e,x}(i+1)=v_{e,x}(i)+[\frac{4\pi^2(x_s(i)-x_e(i))}{r^3_{se}(i)}+\frac{4\pi^2(M_J/M_S)(x_j(i)-x_e(i))}{r^3_{je}(i)}]dt\\ v_{e,y}(i+1)=v_{e,y}(i)+[\frac{4\pi^2(y_s(i)-y_e(i))}{r^3_{se}(i)}+\frac{4\pi^2(M_J/M_S)(y_j(i)-y_e(i))}{r^3_{je}(i)}]dt\\ v_{j,x}(i+1)=v_{j,x}(i)+[\frac{4\pi^2(M_E/M_S)(x_e(i)-x_j(i))}{r^3_{ej}(i)}+\frac{4\pi^2(x_s(i)-x_j(i))}{r^3_{sj}(i)}]dt\\ v_{j,y}(i+1)=v_{j,y}(i)+[\frac{4\pi^2(M_E/M_S)(y_e(i)-y_j(i))}{r^3_{ej}(i)}+\frac{4\pi^2(y_s(i)-y_j(i))}{r^3_{sj}(i)}]dt\\ v_{s,x}(i+1)=v_{e,x}(i)+[\frac{4\pi^2(M_J/M_S)(x_j(i)-x_s(i))}{r^3_{js}(i)}+\frac{4\pi^2(M_E/M_S)(x_e(i)-x_s(i))}{r^3_{es}(i)}]dt\\ v_{s,y}(i+1)=v_{e,y}(i)+[\frac{4\pi^2(M_J/M_S)(y_j(i)-y_s(i))}{r^3_{js}(i)}+\frac{4\pi^2(M_E/M_S)(y_e(i)-y_s(i))}{r^3_{es}(i)}]dt\\ x_e(i+1)=x_e(i)+v_{e,x}(i+1)dt\\ y_e(i+1)=y_e(i)+v_{e,y}(i+1)dt\\ x_j(i+1)=x_j(i)+v_{j,x}(i+1)dt\\ y_j(i+1)=y_j(i)+v_{j,y}(i+1)dt\\ x_s(i+1)=x_s(i)+v_{s,x}(i+1)dt\\ y_s(i+1)=y_s(i)+v_{s,y}(i+1)dt\\ \end{cases}$$

根据以上递推公式，即可编写程序。本次作业的单位均与课本上相同，长度的单位是$\rm{AU}$，时间单位是$\rm{yr}$，速度单位是$\rm{AU/yr}$。

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2.编写测试程序

程序的特性：代码链接Code1

• 计算三体运动的图像，并作出图像
• 仅供测试，用于观察轨道情况

初始条件使系统总动量为$0$，数值全部采用课本上数值，具体数值见代码，运行时长为100年。下图分别显示木星轨道和地球附近的轨道图：

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3.更改木星的质量

代码部分仅仅更改了木星的质量，其他初始条件不变，在质心系中观察各星体的轨道。

将木星质量更改为原来的10倍，运行时间为20年的效果图：
木星附近

地球附近

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将木星质量更改为原来的100倍，运行时间为20年的效果图：
木星附近

地球附近

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将木星质量更改为原来的1000倍，运行时间为20年的效果图：
木星附近

地球附近

可以发现在木星质量变为原来1000倍时，在质心系中，轨道就有很大的区别了。这个时候，木星和太阳的质量相差不大，由与系统动量守恒，太阳的速度这个时候也和木星差不多，所以会出现这样的图像。

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4.在太阳参考系中观察

重点观察木星质量变为原来100倍和1000倍时的轨道，在质心系和太阳参考系中的轨迹进行对比。

程序新增在太阳参考系内观察代码链接

质心系100倍

太阳系100倍

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质心系1000倍，运行130年

太阳系1000倍，运行130年（木星附近）

太阳系1000倍，运行130年（地球附近）

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4.更改更加精确的数据分析

地球质量$M_e=5.97237*10^{24}(kg)$
地球速度$v_e=\frac{2\pi*r_e}{T_e}=\frac{2\pi*1}{1}(AU/yr)=2\pi(AU/yr)$
木星质量$M_j=1.8986*10^{27}kg$
木星速度$v_j=\frac{2\pi*r_e}{T_e}=\frac{2\pi*5.20260}{11.8618}(AU/yr)=2.7558(AU/yr)$
太阳质量$M_s=1.98855*10^{30}kg$
太阳速度$v_s=\frac{M_jv_j+M_ev_e}{M_s}$

分析各种情况下的运动状态：

木星质量为原来800和900倍时（运行时间400yr）：


发现地球的轨道在太阳绕过一圈后，不再有规律了，并且最后会被甩出。

编写一段代码来计算地球被甩出去的临界质量，发现这是一个有趣的问题。code3

在某些值附近会有比较有趣的图形，比如以下几张：

发现只要这个系统运行时间足够长，地球总是会被甩出去，也就是说这个三体运动问题，系统总是不稳定的。而太阳和木星由于质量较大，基本不受地球引力的影响，因此可以看作总是在做双星运动。

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四.结论

利用python分析了三体运动问题，发现了三体运动问题的不稳定性。

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五.致谢

内容原创。
参考资料只有课本。