Homework 11

张琦 2013301510086

---

一. 摘要

第十一次作业

作业 4.7 4.9 4.11

选择4.9题，利用python观察$\beta$不为$2.0$时椭圆轨道的进动。

---

二. 背景介绍

一般情况下行星运动的$\beta$数值为$2.0$，行星会进行圆或者椭圆运动。当$\beta$数值偏离$2.0$时，轨道会不重合会进动。本次作业就是研究在这种情况下$\beta$的数值和进动速度之间的关系。

---

三. 正文

作业L1 4.9题

1. 理论分析

In this section we saw that orbits are unstable for any value of $\beta$ that is not precisely 2 in (4.12). A related question, which we did not address (until now), is how unstable an orbit might be. That is, how long will it take for an unstable orbit to become obvious. The answer to this question depends on the nature of the orbit. If the initial velocity is chosen so as to make the orbit precisely circular, then the value of $\beta$ in (4.12) will make absolutely no difference. Of course, in practice it is impossible to construct an orbit that is exactly circular, so the instabilities when $\beta\neq2$ will always be apparent given enough time. Even so, orbits that start out as nearly circular will remain almost stable for a longer period than those that are highly elliptical. Investigate this by studying different values of $\beta$ (say $\beta=2.05$) and comparing the behaviro with different values of the ellipticity of the orbit. You should find that the orientation of orbits that are more nearly circular will rotate more slowly than those taht are highly elliptical.

基本原理，根据课本CHAPTER 4，可知球的运动方程为：

$$\begin{cases} \frac{dv_x}{dt}=-\frac{GM_Sx}{r^3} \\ \frac{dx}{dt}=v_x \\ \frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM_Sy}{r^3} \\ \frac{dx}{dt}=v_y \\ \end{cases}$$

得到递推关系：

$$\begin{cases} r_i=(x_i^2+y_i^2)^{1/2} \\ v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi^2x_i}{r_i^3}\Delta t \\ v_{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi^2y_i}{r_i^3}\Delta t \\ x_{i+1}=x_i+v_{x,i+1}\Delta t \\ y_{i+1}=y_i+v_{y,i+1}\Delta t \\ \end{cases}$$

根据以上递推公式，即可编写程序。本次作业的单位均与课本上相同，长度的单位是$\rm{AU}$，时间单位是$\rm{yr}$，速度单位是$\rm{AU/yr}$。

---

2. 编写测试程序

程序的特性Code

• 可以实现课本上的功能
• 仅供测试，用于观察轨道情况

初始条件 $v_x=0$, $v_y=2.1\pi(\rm{AU/yr})$, $x=1(\rm{AU})$, $y=0$, $\beta=2.1$

初始条件 $v_x=0$, $v_y=2.1\pi(\rm{AU/yr})$, $x=1(\rm{AU})$, $y=0$, $\beta=2.5$

初始条件 $v_x=0$, $v_y=2.1\pi(\rm{AU/yr})$, $x=1(\rm{AU})$, $y=0$, $\beta=3.0$

3. 找出$r$最大时的位置并标记出来

程序的特性Code

• 可以找出最大点
• 计算最大点的角度
• 计算角度差
• 在图中标记出最大点
• 提高精度

以下给出一个例子，初始条件 $v_x=0$, $v_y=1.9\pi(\rm{AU/yr})$, $x=1(\rm{AU})$, $y=0$, $\beta=2.05$

4. 计算不同$\beta$时的角度差

更方便更直观的观察$\beta$对轨道旋转速度的影响

程序的特性代码链接

• 优化了输出显示
• 能作出$\beta$与$\theta$之间的关系图

输出内容

通过对输出内容以及对图像的分析可以看出在$\beta$超过$3.0$之后行星的轨道便不会闭合了，大于$3.0$的部分是没有意义的，这点在输出的数据中可以看出来。在$2.0~3.0$之间，随着$\beta$的增大，轨道的进动速度也越来越快。夹角的计算是计算$\pi/2$以内的夹角。由于计算角度方法和图像显示还有计算精度等原因，图像在部分位置会出现下降以及反向，并且$\beta>2.8$的部分图像失真严重，其实按照理论分析角度以及角度的变化速度都是在不断增大的。

提高精度过后的结果。

---

四.结论

进动角度随着$\beta$的增大而不断增大，角度的变化速度也随着$\beta$的增大而不断增大，增大到一定（$3.0$）值之后轨道不再闭合。

---

五.致谢

内容原创。
参考资料只有课本。