Homework10

张琦 2013301510086

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1.摘要

第十次作业

• 作业L1 3.26
• 作业L2 3.29 3.31
• 作业L3 将以上题目使用vpython进行一个3D展示

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2.背景介绍

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3.正文

3.1.作业L1 3.26

Continue the previous problem, and construct the phase-phase plots as in Figures 3.16 and 3.17 in the different regimes.

根据课本p76，可知球的运动方程为：

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=\sigma(y-x) \\ \frac{dy}{dt}=-x\,z+r\,x-y \\ \frac{dz}{dt}=x\,y-b\,z \end{cases}$$

得到递推关系：

$$\begin{cases} x_{i+1}=x_i+[\sigma(y_i-x_i)]\,dt \\ y_{i+1}=y_i+[-x_i\,z_i+r\,x_i-y_i]\,dt \\ z_{i+1}=z_i+[x_i\,y_i-b\,z_i]\,dt\\ \end{cases}$$

根据以上递推公式，即可编写程序。

3.1.1.测试程序

程序的特性链接

• 用于测试程序。
• 能够实现作出所要求的各种图形。

由于是用做测试，因此参数采用的是书上的数值$\sigma=10$,$b=8/3$,$r=25$,$x=1$,$y=0$,$z=0$，效果图：

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3.1.2.作出其他条件下的图形

参数采用$\sigma=10$,$b=8/3$,$r=100$,$x=1$,$y=0$,$z=0$，效果图：

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参数采用$\sigma=10$,$b=8/3$,$r=10$,$x=1$,$y=0$,$z=0$，效果图：

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3.2.作业3.31

Study the ehavior for other types of tables. One interesting possibility is a square table with a circular interior wall located either in the center, or slightly off-center. Another possibility is an elliptical table.

根据课本p82，可知球的运动方程为：

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=v_x \\ \frac{dy}{dt}=v_y \\ \end{cases}$$

得到递推关系：

$$\begin{cases} x_{i+1}=x_i+v_x\,dt \\ y_{i+1}=y_i+v_y\,dt \\ \end{cases}$$

根据以上递推公式，再加上边界条件即可编写程序。

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3.2.1.测试程序

边界条件为($-1\leq x\leq1,-1\leq x\leq1$)时代码，以及效果图：

3.2.2.在中心加入圆形边界

边界条件为($-1\leq x\leq1,-1\leq x\leq1,\sqrt{x^2+y^2}\geq0.5$)时代码，以及效果图：

为了防止经过圆形的反弹之后的一个步长，球仍在圆形的边界条件内，因此多添加一个参数n的循环。

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3.2.3.最终完成的程序

程序特性：代码链接
- 整合了圆与椭圆，并能够自动识别
- 能够识别椭圆的长轴与短轴
- 添加了边界图
- 固定了输出图像的大小
- 能够输出初始信息
- 可以自由移动圆和椭圆的位置
- 可以显示小球的初始位置

以下给出几个例子：

(a) 偏离中心的圆 输出信息

ball condition x = 0.8 y = 0.0
vx = 1.73205080757 vy = 1.0
circle condition x = 0.1 y = 0.1
r = 0.5
Total time 100.0 time unit

(b) 偏离中心，改变大小的圆 输出信息

ball condition x = 0.8 y = 0.0
vx = 1.73205080757 vy = 1.0
circle condition x = -0.1 y = 0.3
r = 0.3
Total time 100.0 time unit

(c) 偏离中心，长轴与x轴平行的椭圆 输出信息

ball condition x = 0.8 y = 0.0
vx = 0.707106781187 vy = 0.707106781187
ellipse condition x = -0.1 y = 0.3
a = 0.5 b = 0.3
e = 0.8
a parallel x axis

(d) 偏离中心，长轴与y轴平行的椭圆 输出信息

ball condition x = 0.8 y = 0.0
vx = 0.707106781187 vy = 0.707106781187
ellipse condition x = -0.1 y = 0.3
a = 0.6 b = 0.2
e = 0.942809041582
a parallel y axis

(e) 椭圆的一部分在正方形边界外 输出信息

ball condition x = 0.8 y = 0.0
vx = 0.965925826289 vy = 0.258819045103
ellipse condition x = -0.1 y = 0.6
a = 0.8 b = 0.3
e = 0.927024810887
a parallel y axis

3.3.作业L3 将以上题目使用vpython进行一个3D展示

简单的写了一个关于vpython的代码代码链接
-标明了正方形和椭圆的边界
-可以任意修改边界，初速度

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结论

利用python可以对一些混沌的现象有比较直观的认识。

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致谢

以上内容均为原创。

注：vpython安装了之后，matplotlib就用不了。