张量网络方法与量子多体物理

张量网络方法研究量子系统的纠缠与相变

Tensor network study to the phase transitions and entanglements in the quantum systems

第一章 引言

1.1 量子系统与量子关联

复合量子系统：复合量子系统的希尔伯特空间是其所有子系统的希尔伯特空间的张量积。
量子多体系统纠缠。

1.2 量子系统的演化与量子电路

演化方程

1.3 局域幺正变换与拓扑序

1.4 量子多体波函数的面积定律

1.5 研究方向与研究意义

1.6 本文结构

%### 1.3 拓扑序与量子纠缠
%### 1.4 面积定律与张量网络

%### 1.1 量子多体波函数的纠缠

• 量子多体纠缠反映量子关联，经典系统没有的
• 波函数的纠缠刻画，冯诺依曼纠缠熵
• 面积定律(TensorNetwork)

%### 1.2 量子拓扑物态

• 分数量子霍尔效应、拓扑序(非局域)
• 量子纠缠导致拓扑序，形成量子拓扑物态
• 没有对称性破缺，无序参量
• 两大类(SPT，本征拓扑相)
• 潜在应用

-

• 三类物态：
  
  • No low energy excitations, Insulator, trivial (topological order)
  • Some low energy excitations, Superfluid, interesting
  • A lot of low enrgy excitations, Metal, messy
• 拓扑序：
  
  • 什么是拓扑序？为什么叫拓扑序？
  • 设计数值计算实验 [PRB 40,7387 (89)] 简并度和边界条件有关

%### 1.3 量子拓扑相变与量子临界性

• 拓扑相与相变是分离的
• 超越朗道的拓扑相变理论
• 量子临界性CFT共形场论

%### 1.4 量子电路的纠缠刻画

• 拓扑量子计算：可以纠错，需要大量的物理比特来编码逻辑比特，目前实现很困难。
• NISQ设备：不能纠错，但是在有物理噪声的情况下（会破坏相干性），仍然能够实现量子优越性。
• NISQ设备可以研究的问题：随机量子电路：可以实现编程（Google、潘建伟等的工作）。
• 随机量子电路可以用来做什么？如何刻画随机量子电路？（目前就是Fidelity，关联函数）
• 如何从纠缠角度来刻画？（物理噪声会破坏相干性，系统不再是纯态，冯诺依曼纠缠熵不能用了）（会同时包含热力学关联和量子关联）

？？？

• 为什么研究量子电路
• 一方面：量子拓扑计算
• 另一方面：拓扑序的微观机制 长程量子纠缠
  Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order
  Wen Xiaogang [http://sciencewise.info/media/pdf/1004.3835v2.pdf]
• 量子的发展
• 随机量子电路的刻画

%### 1.5 研究方向与研究意义

• 强关联量子多体系统的研究方法——张量网络方法
• 二维强关联量子系统的相变不太清楚（普适类）
• 量子电路的纠缠如何刻画？动力学演化过程？

%### 1.6 本文结构

第二章 张量网络态及其数值计算方法的研究

%### 2.1 张量与张量网络简介

%## 第二章 一维量子系统的张量网络方法研究

2.2 一维量子系统基态的张量网络方法研究

2.2.1 一维量子系统的矩阵乘积态表示

• 张量网络的图形化表示
  
  • 基本运算
• 一维矩阵乘积态的表示
  边界条件：有限长（开边界，周期性边界），无限长
• 例子：AKLT态，抓住Haldane phase的性质
• 数值计算方法：VUMPS, DMRG, iDMRG, TEBD, iTEBD

2.2.2 矩阵乘积态的基本性质

2.2.3 矩阵乘积态的数值算法及其应用

/Users/zhangqi/Desktop/Files/Code_2020/VUMPSforHamiltonian

2.3 一维低能激发态的张量网络方法研究

2.3.1 一维低能激发态的张量网络表示

• 低能激发态的表示（准粒子假设）Bloch state
• AKLT态的低能激发张量网络表示
  
  • 严格表示
  • Arovas A B state
  • Spin-2 Magnon
• 低能激发态的纠缠（Area law）
• 例子：AKLT态的激发

2.3.2 一维低能激发态的纠缠性质

2.3.3 一维低能激发态的数值算法及其应用

• 低能激发态的计算方法（准粒子假设）
  
  • 简并度与自旋的关系
• Heisenberg model 与 AKLT model 的低能激发
  
  • Haldane gap
• 相变点的低能激发？
• AKLT energy
  $e=-\sqrt{2/5}$

[arXiv:1103.2286 Variational matrix product ansatz for dispersion relations
PhysRevB.85.100408]
[arXiv:1810.07006 Tangent-space methods for uniform matrix product states]
[Matrix Product States for frustrated spin chains lattices with an extended Hilbert space and ....]
[PhysRevB.88.075133 Post-matrix product state methods To tangent space and beyond]

%## 第三章 二维系统的张量网络方法

2.4 二维系统的张量网络态

2.4.1 二维经典统计模型的张量网络表示

• 从配分函数到张量网络
• 例子：Ising模型

2.4.2 二维量子系统的张量网络表示

• 投影纠缠对态(PEPS)
• 波函数的模对应到经典配分函数
• 例子：Toric code？

2.5 二维张量网络态的数值算法

2.5.1 二维张量网络态的数值算法简介

2.5.2 变分均匀矩阵乘积态算法及其应用

• VUMPS与iDMRG关系（变分法和重整化群）

2.5.3 角转移矩阵重整化群算法及其应用

• 重整化群：CTMRG
• 变分法：FPCM

2.5 张量网络方法的小结与讨论

• 张量网络方法抓住系统中的纠缠
• 如何从(2+0)-D到(2+1)-D？
• (2+1)维量子系统哈密顿量的算法

[PHYSICAL REVIEW X 8, 031030 (2018) Finite Correlation Length Scaling in Lorentz-Invariant Gapless iPEPS Wave Functions] 3D Ising

第三章 二维本征拓扑态及其相变的张量网络研究

3.1 Toric Code 拓扑态及其相变

3.1.1 Toric Code 拓扑态简介

• Toric Code 哈密顿量 （平方格子和六角格子）
  $$H_\text{TC} = -\sum A_v -\sum B_p$$
• Toric Code 波函数
  $$|\Psi_\text{TC}\rangle = \prod_v \frac{1+A_v}{\sqrt{2}} |\uparrow\rangle^{\otimes N}$$

3.1.2 Toric Code 拓扑态的调节波函数

• Toric Code 调节波函数
  $$|\Psi(h_x,h_z)\rangle = \prod_{\langle i,j\rangle} [1 + h_x \sigma^x_{i,j} + h_z \sigma^z_{i,j}] |\Psi_\text{TC}\rangle$$

3.1.3 Toric Code 拓扑态的张量网络表示

3.1.4 量子波函数的二维经典统计模型映射

3.1.5 解析推导与数值计算结果

• VUMPS 算法

3.1.6 全局相图与量子临界性

• TC, Higgs, Confining phase

3.2 Double Semion 拓扑态及其相变

3.2.1 Double Semion 拓扑态简介

3.2.2 Double Semion 拓扑态的调节波函数

• Double Semion 波函数

3.2.3 映射到有符号问题的经典统计模型

3.2.4 解析推导与数值计算结果

3.2.5 宇称时间对称性破缺相的研究

3.2.6 全局相图与量子临界性

3.3 Double Fibonacci 拓扑态及其相变

3.2.1 Double Fibonacci 拓扑态简介

3.2.2 Double Fibonacci 拓扑态的张量网络表示

3.2.3 从量子波函数到二维经典统计模型

3.2.4 数值计算结果

3.2.5 全局相图与量子临界性

3.4 拓扑相及其相变的小结与讨论

• 如何从(2+0)-D到(2+1)-D？
• 经典相图和量子相图的对应关系？

第四章 随机量子电路的张量网络研究

4.1 嘈杂中型量子设备简介

4.1.1 随机量子电路

4.1.2 量子电路的张量网络表示

• Haar-random gate

4.2 混态的纠缠刻画

4.2.1 部分转置密度矩阵

• Partial transpose (PT density matrix)

4.2.2 负值度与负值度谱

• Negativity

4.3 量子电路中的纠缠动力学演化

4.3.1 随机混态的相图

4.3.2 随机量子电路的纠缠动力学演化

4.3.3 量子电路纠缠的演化相图

4.4 量子电路纠缠的影响因素

4.4.1 量子比特的间距对纠缠的影响

4.4.2 物理噪声对纠缠的影响

• 去极化噪声

4.4.3 量子门类型对纠缠的影响

• iSWAP, Sqrt(iSWAP), Controlled-Z
  $$\text{fSim}(\theta,\phi)= \left[ \begin{matrix} 1 &0 &0 &0\\ 0 &\cos(\theta) &-i \sin(\theta) &0\\ 0 &-i \sin(\theta) &\cos(\theta) &0\\ 0 &0 &0 &e^{-i\phi}\\ \end{matrix} \right]$$

4.4 量子电路的小结与讨论

第五章 总结与展望

5.1 内容总结

5.2 研究展望