Homework 9

张琦 2013301510086

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1.摘要

第九次作业

作业L1 3.12
作业L2 3.16 3.21

• L1选择3.12
• L2选择3.21

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2.背景介绍

观察非线性摆的混沌现象。

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3.正文

3.1.作业L1 3.12题

In constructing the Poincare section in Figure 3.9 we plotted points only at times that were in phase with the drive force; that is, at times $t\approx 2 \pi n / \Omega$, where $n$ is an integer. At these values of $t$ the driving force passed through zero. However, we could just as easily have chosen to make the plot at times corresponding to a maximum of the drive force, or at times $\pi/4$ out-of-phase with this force, etc. Construct the Poincare sections for these cases and compare them with Figure 3.9.

根据课本（3.18）的运动方程为：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l} \sin \theta + q\frac{d\theta}{dt}+F_D \sin(\Omega_Dt)$$

利用Euler-Cromer方法得到的递推关系：

$$\begin{cases} \omega_{i+1}=\omega_i-[\frac{g}{l}\sin\theta_i+q\omega_i+F_D \sin(\Omega_Dt_i)]\,dt \\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\,dt \\ t_{i+1}=t_i+dt \\ \theta_{i+1} \in [-\pi,\pi] \end{cases}$$

根据以上递推公式，即可编写程序。本次作业重力加速度选用的是$g=9.8m/s^2$，摆长选取$l=9.8m$，$q=1/2$，$\Omega_D=2/3$，所有的单位全部使用国际单位制。

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3.1.1.最初编写的代码,用于测试程序的基本功能

程序特性附链接：

• 实现课本上所示的全部功能
• 为了不显示出一些不和谐的线条，第三幅图采用了散点图。

效果图：

与课本上相符。

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3.1.2.进一步选出同相的点

程序的特性附链接：

• 测试程序能够找出同相的点
• 将两种图进行对比，更加清楚

效果图：（前面两幅$F_D=0.5N$，后面两幅$F_D=1.2N$）

统一了坐标轴，与课本上结果基本相符，由于初始力的方向选取不同因此与书上FIGURE 3.9对比图像水平翻转了一下（即$\theta$变为$-\theta$）。

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3.1.3.找出相位超前$\pi/4$的点

程序的特性附链接：

• 测试程序能够找出相位超前$\pi/4$的点
• 增大了点的数量，但是运行时间大大增加

效果图：（选用$F_D=1.2N$）

仅仅用了106个点，不是特别清楚。

增大点的数量，使用了319个点，结果清晰多了。

与书上FIGURE 3.9对比，发现不同相位的图不一样。。。
缺点：由于时间间隔定为0.01s， 因此只能找出相应时间 $t\approx 2 \pi n / \Omega$附近的点来代替该点，不仅有误差，并且用这种一个个周期找点的方法运算很慢(找300多个点要找几分钟)，预计下个版本将优化程序，将时间间隔定为（例如$\frac{\pi}{300}s$）能被周期数整除的数，这样就能直接输出相应相位的点，而不用一个个去找了。

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重大更新优化了程序（更改时间间隔为$dt=\frac{\pi}{300}s$）

程序特性附链接：

• 仅仅需要找出相应的点的序号就行了，不用一个个进行判断了
• 效率大幅提升，运算时间不到原来的百分之一
• 可以进一步提高点的数量，观察更细致了

仍然是找出相位超前$\pi/4$的点（使用了3334个点），效果图：

顺便重新画了相位相同的点（使用了3334个点），效果图（比书上的图更加细致）：

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3.2.作业L2 3.21题

Investigate the bifurcation diagrams found for the pendulum with other values of the drive frequency and damping parameter. Warning: this can easily become an ambitious project!

这个题目重点是在于对数据的分析。先按照书上的数据做出书上的结果，再更改数据来找出其他数据对应的Bifurcation diagram。

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3.2.1.先做一个可以找出所需$\theta$的程序

程序的特性附链接：

• 能够找出那些极大的$\theta$
• 删去了那些处于$\pi$处的$\theta$
• 选取的是震动有规律时候（80-200s）处的点

效果图：

对数据的总结：

$F_D=1.35$ $\theta_1=1.90$
$F_D=1.45$ $\theta_1=1.75$ $\theta_2=2.67$
$F_D=1.55$ $\theta_{max}$已经太混乱了

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3.2.1.第一次优化

程序的特性附链接：

• 能够合并那些相差不大的$\theta$
• 提高$F_D$的精度
• 提供了初步的Bifurcation diagram
• 由于精度问题，图像不是特别好看

效果图：（后面有更好看的图）

数据太多了，暂时就不贴出来了，提供链接。

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3.2.1.第二次优化

程序的特性附链接：

• 提供了更高的精度
• 选取的是震动有规律时候（200-300s）处的点来进行计算更加稳定
• 加入计时模块，看看到底要用多少时间

效果图：（更好看的图）

数据提供链接。

（用时结果i5 4690k用时195.5s，i5 6300U用时291.6s）

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3.2.1.算一算别的数据

只给结果，只是修改了一下参数

$\Omega_D=2/3$在$F_d=1.05-1.09(N)$处的效果图：

$\Omega_D=3/4$在$F_d=1.15-1.32(N)$处的效果图：

3.2.1.使用Parallel Python进一步优化

为了提高运算效率，使用Parallel Python。可以极大的提高运算效率。结果对比：
i5 4690k原来用时195.5s，优化后用时10.32s。 可见python默认的运算速度极慢，效率极低，无法使用多线程进行运算。但在进行优化后，运算速度大幅度提升。
优化后的程序链接

4.结论

利用python来解决混沌问题是一个很好的选择，也对混沌有了更深刻的理解，发现步长以及初始条件对混沌有着很大的影响。同时经过分析Bifurcation diagram，知道了更多的知识，也进一步对python有了更深刻的理解。

顺便了解了一下cpu的运算速度，了解到python默认的运算效率很低，只能利用单核进行运算，还不能100%利用单个核心。使用pp模块可以使用多核进行运算，可以使所有的核心利用率达到100%，速度提高了几十倍。（不知道为何会提高这么多）

5.致谢

纯属原创，没有参考任何资料。