ch3 行列式 ‘线性代数及其应用笔记’

具体数学

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3.1 行列式介绍

首先我们回顾一下2维方阵的行列式，对于一个矩阵A

$$\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}$$ 的矩阵，它的行列式就是ad-bc，记作$\Delta A=ad-bc或detA=ad-bc$。

有了这个我们能对行列式做一个递归定义了，

行列式

当$n\ge 2,n\times n$矩阵A的行列式
$detA=a_{11}\cdot detA_{11}-a_{12}\cdot detA_{12}+\cdots +(-1)^{1+n}\cdot detA_{1n}$
其中$a_{ij}$表示Ai行j列的元素，$A_{ij}$表示A去除第i行和第j列的子矩阵。
我们把$(-1)^{i+j}detA_{ij}$叫做A的(i,j)余因子，记作$C_{ij}$，那么
$detA=a_{11}C_{11}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$，就称为按A的第一行的余因子展开式。
矩阵A的按每一行展开式的值等于行列式。

那么容易推导出，若A为三角阵，那么detA就等于A的对角线上的元素的乘积。

3.2 行列式的性质

当发生行变换时矩阵A的行列式会如何变化：
1. A某行倍加到另一行得B，detA=detB
2. A的两行互换得B,detB=-detA
3. A的某行乘以k倍得到B，$detB=k\cdot detA$
这些定理常被用来将行列式进行变换以便求行列式的值。（证明用数学归纳法，p174）

将行列式A利用行倍加和行交换变换为阶梯形矩阵U，其中进行了r次行交换，则$detA=(-1)^{r}detU$，这时，行列式detU就等于主对角线上的元素积。此时行列式为0时说明主对角线上有元素等于0，说明主元个数小于维度n，则说明矩阵不可逆。
由此我们可以得到方阵A是可逆的当且仅当$detA\neq 0$.

定理：

• 若A为一个n维方阵，则$detA^T=detA$
• $detAB=(detA)(detB)$ 乘法性质
• $k\cdot detA=k^ndetA$

3.3 克拉默法则，体积和线性变换

克拉默法则

设A是一个可逆的$n\times n$矩阵，对$\mathbb{R}^n$中任意向量b，方程Ax=b的唯一解可由下式给出：
$x_i=\frac{detA_i(b)}{detA},i=1,2,...n$
其中$A_i(b)=[a_1\cdots a_{i-1}\quad b\ \cdots a_n ]$

根据克拉默法则，我们可以容易导出求逆的公式（用单位矩阵的列去代替b）

$$A^{-1}=\frac{1}{detA} \begin{bmatrix} C_{11} &\cdots&C_{n1}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ C_{1n}&\cdots&C_{nn} \end{bmatrix}$$
右边的矩阵称为A的伴随矩阵，记作adjA。注意这里伴随矩阵是由余因子矩阵转置得到

实际应用中我们可以用行列式表示解析几何中物体的面积/体积。
A为2维方阵，由A的列（坐标）确定的平行四边形的面积为|detA|，A为3为方阵，由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|。
线性变换
对于上面提到的对象的面积/体积，对象经过由矩阵A确定的线性变换后，面积/体积=|detA|*原面积/体积

错题

3.1.k 判断命题正误：
$detA^T A\ge 0$
正解为T

心得拾遗

我还记得我大一学线性代数的时候一开始上来就是讲行列式，讲行列式怎么计算等等。。然后之后的概念也都一塌糊涂，。， 好在这本书讲的比较科学一点，也算是把之前的坑填了吧。
行列式本质上是一个数值，或者是一个用未知数表达的式子，它的由来我们人为对数进行排列，并按照排列进行进行某种规则的运算。这种运算起初是由递归定义而来的，之后再将其重定义，而人们恰好发现这个行列式有许多很“有用”的性质，可以简便许多运算以及帮助理解概念，所以就一直能够得到运用和发展。当然对一个数学工具谈本质什么的就有些玄了，感觉没啥意义。
应用上来讲，从代数观点来看，它是方阵的一个函数，从几何观点来看，如果矩阵是线性变换的话，它是矩阵的某种变化系数（就像用面积/体积变换的系数等）。