ch2 矩阵代数 '线性代数及其应用笔记'

具体数学

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2.1 矩阵运算

• 和
  运算对象是维数相等的两个矩阵，对应位相加。
• 标量乘法
  运算对象是一个标量和一个矩阵，每一位都乘以标量。

显然有

$$a. A+B=B+A \quad b.(A+B)+C =A+(B+C)\\ c.A+0=A \qquad\ d. r(A+B)=rA+rB\\ e. (r+s)A=rA+sA \qquad f. r(sA)=(rs)A$$

• 矩阵乘法

  对于矩阵A，B，其乘法结果AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。

  若要AB有定义，则A的列数要等于B的行数，AB行数等于A的行数，AB列数等于B的列数。

矩阵乘法有如下性质

$$1. A(BC)=(AB)C \ 结合律\\ 2. A(B+C)=AB+AC \ 左分配律\\ 3. (B+C)A=BA+CA \ 右分配律\\ 4. r(AB)=r(A)B=A(rB) \\ 5. I_mA=A=AI_m \ 恒等式$$

乘幂 $A^k=k个A相乘$

• 矩阵转置
  对于$m\times n$的矩阵A，其转置就是一个$n\times m$的矩阵,用$A^T$表示，它的列是由A的对应行构成的。
  矩阵转置有如下定理

$$a.(A^T)^T=A\\ b.(A+B)^T=A^T+B^T\\ c. r(A)^T=rA^T\\ d.(AB)^T=B^TA^T$$

2.2矩阵的逆

若存在一个n维方阵C使另一个n维方阵A有AC=I且，CA=I，那么就称A是可逆的，称C为A的逆矩阵，这里的I是n维单位矩阵。
不可逆矩阵又称奇异矩阵，可逆矩阵也称为非奇异矩阵。
定理：设$A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}$,若$ad-bc\neq0$则A可逆且
$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\-c&a \end{bmatrix}$。
数ad-bc称为A的行列式，记作$detA=ad-bc$。
当且仅当$detA\neq 0$，矩阵A可逆。

关于可逆矩阵，有些有趣的事实
a. 若A，B都是n维可逆矩阵，则有$(AB)^-1=B^{-1}A^{-1}$
b. 若A可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

初等矩阵
把单位矩阵进行一次行变换就得到初等矩阵。假设某初等矩阵为E，则将A进行同样的行变换得到的矩阵就等于EA。
同时初等矩阵都是可逆的，那么我们就可以推出以下结论：
定理 n维方阵A是可逆的，当且仅当A行等价于单位矩阵I。这时，把A变为I的一系列初等行变换同时把I变为$A^{-1}$。
由上述定理，我们可以得到
求$A^{-1}$的算法
将增广矩阵[A I]进行化简，若A行等价于I，则$[A \quad I]$行等价于 $[I\quad A^{-1} ]$,否则A没有逆。

2.3可逆矩阵的特征

定理
下列定理等价：
1. A是可逆矩阵。
2. A等价于n维单位矩阵。
3. A有n个主元位置。
4. 方程Ax=0仅有平凡解。
5. A的各列线性无关。
6. 线性变换x->Ax是双射。
7. 对于$\mathbb{R}^n$中任意b，方程Ax=b至少有一个解。
8. A的各列生成$\mathbb{R}^n$。
9. 线性变换x->Ax把$\mathbb{R}^n$印射到$\mathbb{R}^n$上。
10. 存在n维方阵C使CA=I。
11. 存在n维方阵使AD=I。
12. $A^T$是可逆矩阵。

2.4分块矩阵

用水平线和竖直线可以将矩阵进行分块。

• 加法与标量乘法
  若AB维数相同且被同样地分块，则自然矩阵的和A+B也被同样分块，其每一块恰好是A和B对应分块的矩阵和。数乘也是一样。
• 分块矩阵乘法
  只要A的列分法和B的行分法一致，那么分块矩阵就可以用通常的行列法则进行乘法运算。
• 分块矩阵的逆
  分块对角矩阵 是一个分块矩阵，除了主对角线上各分块外，其他全是零分块。这样的一个矩阵式可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。

2.5矩阵因式分解*

矩阵的因式分解就是将矩阵表示为两个或更多个矩阵的乘积。
LU分解 这种分解常用来解一系列具有相同系数矩阵的线性方程。我们把A分解为LU，L是一个m维下三角方阵，U是A的行等价阶梯形矩阵。 可以证明解$Ly=b\quad Ux=y$的方程组比解$Ax=b$所需要的计算次数少得多。
那么如何进行LU分解呢？
1. 如果可能的话，用一系列的倍加变换把A化为阶梯形。
2. 填充L的元素，使相同的行变换把L变为I。

2.6 列昂惕夫投入产出模型*

列昂惕夫投入产出生成方程式：
$x=Cx+d$
x-总产出 Cx-中间需求 d-最终需求
那么我们需要得到最终需求的物资，就要生成$x=(I-C)^{-1}d$的总产出。

2.7计算机图形学中的应用

线性变化可以将线段印射到线段从而对其进行剪切，伸缩等变形，但不能进行平移，因为平移不是线性变换，但是我们可以通过引入所谓齐次坐标来解决这一问题。
将$\mathbb{R}^2$的每个点(x,y)对应到$\mathbb{R}^3$的(x,y,1)。这样就可以通过矩阵乘法进行平移变换了。比如

$$\begin{bmatrix}1&0&h\\0&1&k\\0&0&1 \end{bmatrix}$$ 就可以把[x y 1]平移到[x+h y+k 1]。

2.8 $\mathbb{R}^n$的子空间

子空间

一个子空间是$\mathbb{R}^n$中的集合H，具有以下三个性质
1. 零向量属于H
2. 对于H中任意向量u和v，u+v属于H
3. 对H中任意向量u和数c，cu属于H

换言之，子空间对加法和标量乘法是封闭的。

列空间

矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合，记作Col A。

零空间

矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记作Nul A。

那么我们可以得到这样一个定理，$m\times n$的矩阵A的零空间是$\mathbb{R}^b$的子空间，等价的，n个未知数的m个齐次线性方程组的解的全体是$\mathbb{R}^n$的子空间。即列空间和零空间都是子空间。

子空间的基

子空间H的一组基是H中的一个线性无关集，它生成H。

求出Ax=0的解的参数向量形式，实际上就是确定Nul A的基。
矩阵A的主元列构成列空间的基。（注意与A行等价的阶梯形B的主元列不能作为Col A的基，要用A的主元列本身）
可逆矩阵的列空间Col A为$\mathbb{R}^n$,零空间Nul A为零子空间。

2.9维数和秩

选定一组基后我们就相当于选定了坐标系，空间中任何向量都可以唯一地用坐标向量进行表示。

维数

非零子空间的维数，是H的任意一组基的向量个数，记为dim H。

秩

矩阵A的秩是A的列空间的维数，记为 rank A。

秩定理若一矩阵A有n列，则$rank A+ dim\ Nul A =n$

基定理 H为p维子空间，H中任何恰好由p个成员组成的线性无关集构成H的一个基，并且H中任何生成H的p个向量集也构成H的一个基。
那么根据新加入的内容，我们可在2.3节的可逆矩阵定理中加入下列等价命题：
13. Col A=$\mathbb{R}^n$
14. A的列向量构成$\mathbb{R}^n$的一个基
15. dim Col A=n
16. rank A=n
17. Nul A={0}
18. dim Nul A = 0

心得拾遗

1. 矩阵真是个很神奇的东西，既可以表示空间中的对象，也可以表示对象的变换（跃迁）。表示对象的时候（比如向量组）它是静止的，但是表示变换的时候它又代表空间中的运动。 以初等矩阵为例，它本身是一个矩阵，但是当任何矩阵左乘一个初等矩阵时都相当于对这个矩阵做对应的初等变换。

错题

• 补充习题 1.o
  若A可逆，且$r\neq 0$，则$(rA)^{-1}=rA^{-1}$
  正解： 命题错误。真是傻了，。，也不经思考就觉得是对的，但是正确命题显然是：$(rA)^{-1}=r^{-1}A^{-1}$

• 补充习题11.b
  下列矩阵称为范德蒙德矩阵，在多项式插值等方面中都有应用。
  

  $$V = \begin{bmatrix} 1 &x_1&x_1^2&\cdots &x_1^{n-1}\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots&\vdots\\ 1 &x_n&x_n^2&\cdots&x^{n-1}_n \end{bmatrix}$$
  设$x_1,x_2,...,x^n$是相异的数，证明V的列是线性无关的。
  正解： 我们先来回想线性无关的定义：关于z的方程Vz=0只有平凡解时说V的各列线性无关。
  现在我们假设z已知，或者说固定住，把V作为未知数，也就是$x_1...x_n$是未知数。
  那么容易发现，$x_1...x_n$就是方程$z_0+z_1x+z_2x^2+...+z_{n-1}x^{n-1}=0$的解，当$z\neq 0$时这个方程最多有n-1个不同的解，但是我们有$x_1到x_n$总共n个解，则可以推出z必需为0。
  蛤？ z必需是0？那不就是说除了平凡解没有其他解了吗？
  OK，证毕。

• 补充习题17
  设A是一$6\times 4$矩阵，B是一个 $4\times 6$矩阵，证明AB不可逆。

  错解：直接懵逼不会证了QAQ

  正解：先来看矩阵B，行数小于列数，说明主元个数一定少于未知数个数，说明一定有自由变量，也就是说有$x\neq 0$使得$Bx=0$,那么这个x也能使$ABx=A0=0$，即矩阵(AB)的各列线性相关，则$6\times 6$矩阵AB不可逆。