@cxm-2016
2016-11-03T10:38:56.000000Z
字数 4447
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算法
版本:2
作者:陈小默
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圆的定义为所有距离中心位置为定值 的点的集合[1]。在本章内容中,我们将会介绍三种常用的圆形生成算法:勾股定理算法、极坐标算法和中点圆算法。
由于圆具有对称性,只计算圆上一部分的值,再通过对称性将值变换到其他象限可以极大的减少计算量。
假如我们确定了圆在第一象限的位置,则可以通过变换 的符号去生成圆在第二象限的位置。我们再对上述生成的全部位置进行相对于 轴的符号变换就可以得到圆在第三四象限的位置。这就是四分法的基本思路。
在同一个象限内,如果按照 进行分割,可以看出其坐标关于这个分割线是对称的。也就是在(0~45)度范围内的值可以通过简单变换映射到其他区域内。这种分割方式被称为圆的八分法。
在笛卡尔坐标系中,对于给定的原点和半径 ,圆上任意一点满足勾股定理
利用这个算法我们可以通过任意 值计算对应的 值
现在我们通过示例程序演示该算法,仅展示思路,可使用任意语言或图形软件包实现。
void Pythagorean(int x,int y,int r){//使用勾股定理绘制圆
int start = x-r;
int end = r+x;
_IntArray _arr;
int size = 4*(end-start);
_arr = new IntArray(size);
IntArray_ arr = *_arr;
int r2 = r*r;
for(int i=start,j=0;i<end;i++){
int p = sqrt(float(r2-power(x-i)));
arr[j++]=i;
arr[j++]=y+p;
arr[j++]=i;
arr[j++]=y-p;
}
_list->add(_arr);
}
通过结果 [图 1.2-1]
我们可以看出直接使用勾股定理会造成像素间距不一致的问题。处理方法有两种:第一种是在斜率的绝对值大于1后,交换和来调整间距;第二种方式是使用1.1节
中提到的八分法。我们只需要计算八分之一的图形,剩下的操作就是简单映射即可。以下是使用八分法的示例
void Pythagorean(int xc,int yc,int r){//使用勾股定理和八分法绘制圆
int len = int(1+0.5*sqrt(2.0)*r);
int size = 16*len;
_IntArray _arr = new IntArray(size);
IntArray_ arr = *_arr;
int r2 = r*r;
int j=0;
for(int x=0;x<len;x++){
int p = sqrt(float(r2-power(x)));
arr[j++]=x;
arr[j++]=p;
}
int k=j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i+1];
arr[j++] = arr[i];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i];
arr[j++] = -arr[i+1];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = -arr[i];
arr[j++] = arr[i+1];
}
for(int i=0;i<j;i+=2){
arr[i]+=xc;
arr[i+1]+=yc;
}
_list->add(_arr);
}
在此示例中,我们先将圆计算时的圆心已原点(0,0)计算,在所有操作完成之后在平移到相应位置,这么做方便变换简化计算量。
总结:勾股定理算法简单,即使是使用八分法缩减运算规模,其大量复杂的开平方计算仍然是影响效率的关键因素。接下来,我们将介绍一种能够替换开平方运算的算法。
极坐标系是一种常用的坐标系。其中坐标位置由到原点的极半径距离 和距水平轴的角 指定。正的角位移是逆时针的,而负的角位移是逆时针的。利用三角函数的定义,可以从极坐标系转换为笛卡尔坐标系。
通过式(1.3.1)我们可以通过下列方程组表示圆方程
使用上述方式以单位角度为步长,可以在圆周上以等距离的点来绘制圆。
下面将使用程序展示极坐标算法的计算过程
void Polar(int xc,int yc,int r){//使用极坐标系绘制圆
int point = 2;//每一度绘制两个点
double angle = 1.0/point;//每两个点之间的角度
int size = point*45*8*2;//使用八分法,
_IntArray _arr = new IntArray(size);
IntArray_ arr = *_arr;
int j=0;
for(int i=0;i<45;i++){
for(int m=0;m<point;m++){
arr[j++] = int(r*cos(((i+angle*m)*(PI/180))));//使用c库中的三角函数需要将角度转换为弧度
arr[j++] = int(r*sin(((i+angle*m)*(PI/180))));
}
}
int k=j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i+1];
arr[j++] = arr[i];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i];
arr[j++] = -arr[i+1];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = -arr[i];
arr[j++] = arr[i+1];
}
for(int i=0;i<j;i+=2){
arr[i]+=xc;
arr[i+1]+=yc;
}
_list->add(_arr);
}
总结:我们可以从图中看出其边缘有毛刺状突起,这是因为极坐标系运算以角度为步长而不是任何一个轴,这就导致其结果取整后不仅仅只会在一个方向上浮动。从效率的角度上说,虽然极坐标系统提供了等距离点,但是其三角函数计算仍然十分耗时。
我们可以参照直线算法中的Bresenham算法,以决策参数的增量运算为基础,将圆的计算过程转换为简单的整数加减运算。
如同画线算法,我们在每一步中以单位间隔取样并确定离圆最近的像素位置。对于给定半径 和屏幕中心 ,可以现将圆的圆心放在坐标原点运算,在运算完成之后,再将圆移动到相应的位置。
为了应用中点圆算法,我们先定义一个圆函数
任意一点 均满足
我们需要使用(1.4.2)对每一个取样步上对接近圆周的两个像素的中点进行测试。因此,在中点算法中,圆函数(1.4.1)是决策参数。
图 [1.4-1]
给出了取样位置 上的中点,我们可以取出中点的坐标 也就是点 ,接下来,我们只需要将中点位置代入方程(1.4.1)就可以算出决策参数
如果,那么这个圆的轨迹在中点的上方,所以我们选择扫描 这个像素,否则,我们扫描这个像素。
接下来我们要寻找决策增量之间的关系。这使用了我们中学所学的数学归纳法。通过任意相邻两点之间的关系递推整个决策的关系。
通过式(1.4.4)我们可以求出下一个决策参数
我们可以找出相邻的两个决策参数之间的关系
其中 是 或者是 具体取值取决于 的符号。
我们已经计算出了决策增量的关系,接下来只需要计算出决策增量的初始值即可,对于圆心在坐标原点,半径为 的圆来说,假设第一点从处起笔
如果为了简化运算,我们可以将决策参数近似为整数,而不用浮点数,其中 也是整数
接下来我们将使用一段代码来解释其流程:
void Bresenham(int xc,int yc,int r){//使用中点圆算法
int j = 0;
int p = 1-r;//这里计算出的p0使用近似的整型来简化运算
int x = 0;
int y = r;
int size = 16*int(1+0.5*sqrt(2.0)*r);//整个运算过程会产生size/2个点
_IntArray _arr = new IntArray(size);
IntArray_ arr = *_arr;
for(int i=x;i<y;i++){
arr[j++] = x++;
if(p<0){//决策参数小于0说明中点在圆内,所以点要绘制在上方
arr[j++] = y;
p+=2*x+1;
}else{
arr[j++] = y--;
p+=2*x+1-2*y;
}
}
int k=j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i+1];
arr[j++] = arr[i];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = arr[i];
arr[j++] = -arr[i+1];
}
k = j;
for(int i=0;i<k;i+=2){
arr[j++] = -arr[i];
arr[j++] = arr[i+1];
}
for(int i=0;i<j;i+=2){
arr[i]+=xc;
arr[i+1]+=yc;
}
_list->add(_arr);
}
图中示例分别为勾股定理(左),极坐标系(中)和中点算法(右)