微分几何

数学

1.欧氏空间

1.1向量空间

1.2欧氏空间

2.曲线的局部理论

2.1正则曲线

• $\vec{r} =\vec{r}_{[t]}[t]=x_{[t]}[t]\vec{e}_x+y_{[t]}[t]\vec{e}_y$：$x_{[t]}[t],y_{[t]}[t]$无限可微.
• $|\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}t}|>0,\forall t \in\{t|a<t<b\}$

2.2$E^2$中的曲线

2.2-1弧长参数

• $s=s_{[t]}[t]=\int_a^t |\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}t}| {\rm{d}} t=\int_a^t \sqrt{(\dot x_{[t]}[t])^2+(\dot y_{[t]}[t])^2} {\rm{d}} t$
  
  • 由于$\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}=|\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}t}|>0,\forall t\in\{t|a<t<b\}$，$s$是$t$的严格递增函数
  • $\exists t=t_{[s]}[s]$
  • $\vec{r}_{[t]}[t_{[s]}[s]]=x_{[t]}[t_{[s]}[s]]\vec{e}_x+y_{[t]}(t_{[s]}[s])\vec{e}_y$
• 重新记$\vec r=\vec{r}_{[s]}[s]=x_{[s]}[s]\vec{e}_x+y_{[s]}[s]\vec{e}_y$
  
  • $s$：弧长参数

2.2-2弧长参数的曲线

• $|\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}s}|=|\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}t}\frac{{\rm{d}} t}{{\rm{d}}s}|=\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t} \frac{{\rm d}t}{{\rm d}s}=1$
• $\vec t=\vec t_{[s]}[s]:=\frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}s}=\dot x_{[s]}[s]\vec{e}_x+\dot y_{[s]}[s]\vec{e}_y$
• $\vec n:$与$\vec t$构成左手系(Frenet标架)
• 对$(\vec t,\vec t)=1$求导得到$(\frac {{\rm d} \vec t}{{\rm d}s},\vec t)=0$,即$\frac {{\rm d} \vec t}{{\rm d}s}$与$\vec {n}$平行，可以设$\frac {{\rm d} \vec t}{{\rm d}s}=k\vec {n}$，其中$k$随$s$变化
  
  • 同理$\frac {{\rm d} \vec n}{{\rm d}s}$与$\vec t$平行，再对$(\vec t,\vec n)=0$求导得到$(\frac {{\rm d} \vec t}{{\rm d}s},\vec n)+(\vec t,\frac {{\rm d} \vec n}{{\rm d}s})=0$,于是$\frac {{\rm d} \vec n}{{\rm d}s}=-k \vec t$
• 总结起来得到Frenet方程
  $$\frac{\rm d}{{\rm d} s} \left[ \begin{matrix} \vec t \\ \vec n \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & k \\ -k & 0 \\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} \vec t \\ \vec n \\ \end{matrix}\right]$$

2.2-3几何意义

• $\vec t$表示切线方向，$\vec n$表示法线方向
• 将$\vec r_{[s]}[s]$作泰勒展开得到 $$\vec r_{[s]}[s]=\vec r_{[s]}[s_0]+\dot {\vec r}_{[s]}[s_0](s-s_0)+\frac{1}{2}\ddot {\vec r}_{[s]}[s_0](s-s_0)^2+...\\=\vec r_{[s]}[s_0]+ {\vec t}_{[s]}[s_0](s-s_0)+\frac{1}{2}k_{[s]}[s_0]\vec n[s_0](s-s_0)^2+...$$ 即一次项代表直线逼近(切线)，二次项代表圆逼近
• $k$称为曲率

2.3$E^3$中的曲线

2.3-1$E^3$曲线的弧长参数

• $\vec{r}_{[t]}[t]=x_{[t]}[t]\vec{e}_x+y_{[t]}[t]\vec{e}_y+z_{[t]}[t]\vec{e}_z$,$s_{[t]}[t]=\int_a^t |\frac{{\rm{d}} \vec{r}}{{\rm{d}}t}| {\rm{d}} t$, $\frac{{\rm{d}}s} {{\rm{d}} t}= \sqrt{(\dot x_{[t]}[t])^2+(\dot y_{[t]}[t])^2+(\dot z_{[t]}[t])^2} >0$, $\exists t=t_{[s]}[s]$,重新记$\vec{r}_{[s]}[s]=x_{[s]}[s]\vec{e}_x+y_{[s]}[s]\vec{e}_y+z_{[s]}[s]\vec{e}_z$
• 取$\vec t= \frac {{\rm d} \vec r}{{\rm d}s}$为切线方向，$\vec n=\frac{1}{k}\frac {{\rm d} \vec t}{{\rm d}s}$为主法向，$\vec b=\vec t\wedge\vec n$为附法向
• 仿照二维情形得到三维的Frenet方程： $$\frac{\rm d}{{\rm d} s} \left[ \begin{matrix} \vec t \\ \vec n \\ \vec b \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & k & 0 \\ -k & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} \vec t \\ \vec n \\ \vec b \end{matrix}\right]$$

2.3-2几何意义

• $k$为曲率，$\tau$为挠率
• $\vec t$和$\vec n$所张平面称为密切平面
• $k\equiv0 \Leftrightarrow$直线
  $\tau\equiv0 \Leftrightarrow$平面曲线
  $\tau\equiv$常数且$k\equiv$常数$\Leftrightarrow$圆柱螺线

2.3-3一般螺线

• 定义为$\vec t$与某个单位常向量夹角为常数
• 等价于$\frac{k}{\tau}$为常数

2.4曲线论的基本定理

3.曲面的局部理论

3.1 曲面的概念

3.1-1正则曲面

• $\vec r_{[u,v]}[u,v]=x_{[u,v]}[u,v]\vec e_x+y_{[u,v]}[u,v]\vec e_y+z_{[u,v]}[u,v]\vec e_z$
• 每一个都是光滑的

3.1-2法线

• 如果有$\frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v} \not= 0$
  
  • 存在法向量$\vec n=\frac{\frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v}}{\left |\frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right |}$
• 做参数变换$u'=u'_{[u,v]}[u,v]$，$v'=v'_{[u,v]}[u,v]$
  
  • 如果有${\rm Det}\left [\frac{\partial [u',v']}{\partial [u,v]}\right ]$存在，则存在反函数$u=u_{[u',v']}[u',v']$，$v=v_{[u',v']}[u',v']$
  • $\frac{\partial\vec r}{\partial u'}=\frac{\partial \vec r}{\partial u} \cdot \frac {\partial u}{\partial u'}+\frac{\partial \vec r}{\partial v} \cdot \frac {\partial v }{\partial u'}$且$\frac{\partial\vec r}{\partial v'}=\frac{\partial \vec r}{\partial u} \cdot \frac {\partial u}{\partial v'}+\frac{\partial \vec r}{\partial v} \cdot \frac {\partial v }{\partial v'}$
  • $\frac{\partial \vec r}{\partial u'}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v'} = {\rm Det} \left[ \frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']}\right ] \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v}$

3.2 曲面第一基本形式

3.2-1曲面上的曲线

• 将曲面表示为$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u,v]$
  曲面上的曲线：$u=u_{[t]}[t]$,$v=v_{[t]}[t]$
• $\frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}=\frac{\partial \vec r}{\partial u} \cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec r}{\partial v} \cdot \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$
  $s=\int_a^b|\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}|{\rm d}t$
• $|\frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}|=\sqrt{\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d}t} \cdot \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}}=\sqrt{E\left (\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}\right )^2+2F\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}+G\left (\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\right )^2}$,其中$E=\left( \frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec r}{\partial u}\right )$,$F=\left( \frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right )$，$G=\left( \frac{\partial \vec r}{\partial v},\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right )$

3.2-2第一基本形式

• $\left (\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t} \right )^2=E\left (\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}\right )^2+2F\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}+G\left (\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\right )^2$即有
  
  • $({\rm d}s)^2=E({\rm d}u)^2+2F{\rm d}u{\rm d} v+G({\rm d}v)^2$
  • 被称为曲面的第一基本形式
  • 其几何意义为弧长微元的平方
  • 用二次型表达为矩阵$\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]$
• 如果用另一组参数下曲面有另一表达$\vec r=\vec r_{[u',v']}[u',v']$，直观上看第一基本形式应当没有变化，下证明之

定理 曲面的第一基本形式与参数选择无关
证明 设有参数变换$u'=u'_{[u,v]}[u,v]$，$v'=v'_{[u,v]}[u,v]$，存在逆向变换$u=u_{[u',v']}[u',v']$，$v=v_{[u',v']}[u',v']$，两个基本形式分别为：

$$({\rm d}s)^2=E({\rm d}u)^2+2F{\rm d}u{\rm d} v+G({\rm d}v)^2$$ $$({\rm d}s')^2=E'({\rm d}u')^2+2F'{\rm d}u'{\rm d} v'+G'({\rm d}v')^2$$ 我们想证明二者相等，首先根据坐标变换得到
$$\left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u'} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right]=\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']} \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v} \\ \end{matrix}\right]$$ 和 $$\left[ \begin{matrix} {\rm d}u \\ {\rm d}v \\ \end{matrix}\right]=\left(\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']} \right)^T \left[ \begin{matrix} {\rm d}u \\ {\rm d}v \\ \end{matrix}\right]$$ 而根据定义 $$\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u} & \frac{\partial\vec r}{\partial v} \\ \end{matrix}\right]$$ $$\left[ \begin{matrix} E' & F' \\ F' & G' \\ \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u'} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u'} & \frac{\partial\vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right]\\=\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']} \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u} \\ \frac{\partial\vec r}{\partial v} \\ \end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix} \frac{\partial\vec r}{\partial u'} & \frac{\partial\vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right]{\left( \frac{\partial [u,v]}{ \partial [u',v']}\right)}^T \\=\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']}\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]{\left( \frac{\partial [u,v]}{ \partial [u',v']}\right)}^T$$ 于是得到 $$({\rm d}s')^2=\left[ \begin{matrix} {\rm d}u' & {\rm d}v' \\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} E' & F' \\ F' & G' \\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} {\rm d}u' \\ {\rm d}v' \\ \end{matrix}\right]\\=\left[ \begin{matrix} {\rm d}u' & {\rm d}v' \\ \end{matrix}\right]\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']}\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]{\left( \frac{\partial [u,v]}{ \partial [u',v']}\right)}^T\left[ \begin{matrix} {\rm d}u' \\ {\rm d}v' \\ \end{matrix}\right]\\=\left(\left(\frac{\partial [u,v]}{\partial [u',v']}\right)^T\left[ \begin{matrix} {\rm d}u \\ {\rm d}v \\ \end{matrix}\right]\right)^T\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]\left({\left( \frac{\partial [u,v]}{ \partial [u',v']}\right)}^T\left[ \begin{matrix} {\rm d}u' \\ {\rm d}v' \\ \end{matrix}\right]\right)\\=\left[ \begin{matrix} {\rm d}u & {\rm d}v \\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} E & F \\ F & G \\ \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} {\rm d}u \\ {\rm d}v \\ \end{matrix}\right]=({\rm d}s)^2$$ Q.E.D

• 记$\vec r$的一阶微分形式${\rm d}\vec r$，显然有${\rm d}\vec r=\frac{\partial \vec r}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial \vec r}{\partial v}{\rm d}v$，而$({\rm d}{\vec r},{\rm d}{\vec r})=({\rm d}s)^2$，由一阶微分的形式不变形可以直接得到上面定理
• 此外在合同变换下，第一基本形式也应该保持不变

定理 合同变换不改变第一基本形式
证明 合同变换将$\vec r$映向$\vec {r}'=T\vec r+\vec P$，其中$T$是常合同矩阵，于是$\frac{\partial \vec r'}{\partial u}=T\frac{\partial \vec r}{\partial u}$,而

$$E'=\left(\frac{\partial \vec r'}{\partial u},\frac{\partial \vec r'}{\partial u}\right)=\left(T\frac{\partial \vec r'}{\partial u},T\frac{\partial \vec r'}{\partial u}\right)\\=\left(\frac{\partial \vec r'}{\partial u},T^TT\frac{\partial \vec r'}{\partial u}\right)=\left(\frac{\partial \vec r'}{\partial u},\frac{\partial \vec r'}{\partial u}\right)=E$$ 其余同理
Q.E.D

3.2-3第一基本形式举例

• 球面的投影参数：将球面$x^2+y^2+z^2=a^2$上除北极以外的任何一点$[x,y,z]$与北极$[0,0,a]$相连，所的直线与平面$z=0$相交于唯一的一点$[u,v,0]=[\frac{ax}{a-z},\frac{ay}{a-z},0]$,取$u,v$为参数，得到球面的投影参数 $$\vec r=\frac{2a^2u}{a^2+u^2+v^2}\vec e_x+\frac{2a^2v}{a^2+u^2+v^2}\vec e_y+\frac{a(u^2+v^2-a^2)}{a^2+u^2+v^2}\vec e_z$$
  
  • 球面投影参数下的第一基本形式：分别计算得到 $$\frac{\partial \vec r}{\partial u}=\frac{2a^2(a^2-u^2+v^2)}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_x+\frac{-4a^2uv}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_y+\frac{4a^3u}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_z$$ $$\frac{\partial \vec r}{\partial v}=\frac{-4a^2uv}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_x+\frac{2a^2(a^2+u^2-v^2)}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_y+\frac{4a^3u}{(a^2+u^2+v^2)^2}\vec e_z$$
  • 球面的第一基本形式： $$({\rm d}s)^2=\frac{4}{1+\frac{u^2+v^2}{a^2}}{\rm d}u{\rm d}v$$
• 取平面$\vec r=u\vec e_x+v\vec e_y$，则$\frac{\partial \vec r}{\partial u}=\vec e_x$，$\frac{\partial \vec r}{\partial v}=\vec e_y$，第一基本形式为 $$({\rm d}s)^2=({\rm d}u)^2+({\rm d}v)^2$$
• 取柱面$\vec r=x_{[u]}[u]\vec e_x+y_{[u]}[u]\vec e_y+v\vec e_z$，则$\frac{\partial \vec r}{\partial u}=\dot x_{[u]}[u]\vec e_x+\dot y_{[u]}[u]\vec e_y$，$\frac{\partial \vec r}{\partial v}=\vec e_y$，第一基本形式为 $$({\rm d}s)^2=((\dot x_{[u]}[u])^2+(\dot y_{[u]}[u])^2)({\rm d}u)^2+({\rm d}v)^2$$
  
  • 如果将柱面与$z=0$平面相交得到以$u$为参数的曲线，可以取定$u$为该曲线的弧长参数，此时有$(\dot x_{[u]}[u])^2+(\dot y_{[u]}[u])^2=1$
  • 柱面的基本形式写作$({\rm d}s)^2=({\rm d}u)^2+({\rm d}v)^2$
• 二者具有相同的基本形式，但确实是不同的曲面
  
  • 第一基本形式表示对曲面距离的刻画，在这一点上二者是相同的，直观上看，柱面可以沿着母线剖开展平为平面，因而二者具有相同的“度量规范”
  • 球面在投影参数下的第一基本形式就与二者不同
  • 但二者依然是不同的曲面，需要寻找其他的不变量同时刻画二者的差别

3.3曲面的第二基本形式

3.3-1曲面的第二基本形式

• 已经定义了曲面的法向量$\vec n=\frac{\frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v}}{\left |\frac{\partial \vec r}{\partial u}\wedge\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right |}$
• 定义第二基本形式为$-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)$
  
  • 展开得到 $$-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)=-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial \vec r}{\partial v}{\rm d}v,\frac{\partial \vec n}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial \vec n}{\partial v}{\rm d}v\right)=\\-\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{\partial \vec n}{\partial u}({\rm d}u)^2-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{\partial \vec n}{\partial v}+\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right){\rm d}u{\rm d}v-\frac{\partial \vec r}{\partial v}\frac{\partial \vec n}{\partial v}({\rm d}v)^2$$
  • 直接计算非常繁琐，设法化简上式
  • 由$\vec n$的表达式知道$\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\vec n\right)=\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v}\vec n\right)=0$
  • 求偏导数得到以下诸等式 $$\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2},\vec n\right)+\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec n}{\partial u}\right)=0$$ $$\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial v},\vec n\right)+\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=0$$ $$\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v\partial u},\vec n\right)+\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v},\frac{\partial \vec n}{\partial u}\right)=0$$ $$\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2},\vec n\right)+\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v},\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=0$$
  • 注意到求导可交换的性质容易得到 $$-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec n}{\partial u}\right)=\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2},\vec n\right)$$ $$-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v},\frac{\partial \vec n}{\partial u}\right)=\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial v},\vec n\right)$$ $$-\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v},\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2},\vec n\right)$$
  • 将以上三项分别定义为$L$，$M$，$N$，则第二基本形式表达为 $$-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)=L({\rm d}u)^2+2M{\rm d}u{\rm d}v+N({\rm d}v)^2$$
• 从微分形式的角度看，${\rm d}\vec r=\frac{\partial \vec r}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial \vec r}{\partial v}{\rm d}v$与$\vec n$是垂直的，即有$({\rm d}\vec r,\vec n)=0$,对上式直接微分得到$({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)+({\rm d^2}\vec r,\vec n)=0$,因而第二基本形式也写成$({\rm d^2}\vec r,\vec n)$,由$\vec r$的二次微分形式${\rm d^2}\vec r=\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2}({\rm d}u)^2+\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v\partial u}{\rm d}u{\rm d}v+\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2}({\rm d}v)^2$直接得到上述诸式

3.3-2曲面第二基本形式的几何意义

• 仍然从微分形式的角度研究，$\Delta \vec r={\rm d}\vec r+\frac{1}{2}{\rm d^2}\vec r+o({\rm d}^2\vec r)$
  
  • 将上式与法向量内积得到$\Delta \vec r$偏离切平面的情况
  • 内积后第一项自动消失，第二项正比与第二基本形式$(\Delta \vec r,\vec n)$在忽略高阶项下的近似
  • 根据二次型的理论，可以分为正定，负定和不定，我们有如下定理

定理 曲面依据其在某位置$[u_0,v_0]$的第二基本形式分为以下三类
$LN-M^2>0\Leftrightarrow$第二基本形式在该点正定或负定$\Leftrightarrow$曲面是凸的或者凹的
$LN-M^2<0\Leftrightarrow$第二基本形式在该点不定$\Leftrightarrow$曲面是马鞍形的
$LN-M^2=0\Leftrightarrow$第二基本形式在该点退化
证明 作$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u_0,v_0]$处$\Delta \vec r=\vec r_{[u,v]}[u,v]-\vec r_{[u,v]}[u_0,v_0]$与$\vec n=\vec n_{[u,v]}[u_0,v_0]$的内积$(\Delta \vec r,\vec n)$作为$u,v$的函数，表征$\Delta \vec r$偏离切平面的情况
注意到其对$u,v$的偏导数$\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\vec n\right)$，$\left(\frac{\partial \vec r}{\partial v},\vec n\right)$在$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u_0,v_0]$处均为0，根据多元微分学理论$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u_0,v_0]$为该函数的临界点，其Hessian矩阵为

$$\left[ \begin{matrix} \left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2},\vec n\right) & \left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial v},\vec n\right) \\ \left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v\partial u},\vec n\right) & \left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2},\vec n\right) \\ \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} L & M \\ M & N \\ \end{matrix}\right]$$
对应二次型恰好为第二基本形式
Q.E.D

3.3-3第二基本形式的不变性

• 同第一基本形式一样，第二基本形式也应当也参数选择无关或至多相差一个符号，事实上我们有如下定理

定理 第二基本形式在同向参数变换下保持不变，在反向参数变换下仅改变符号
证明 根据一阶微分的形式不变性，任何参数变换都不改变${\rm d}\vec r$，而根据法向量的定义容易得到${\rm d}\vec n$在同向参数变换下不变而在反向参数变换下仅改变符号，由内积的性质直接得到结论
Q.E.D

• 同样在合同变换下也应该有如下性质

定理 在刚体运动下第二基本形式保持不变，在反向刚体运动下仅改变符号
证明 合同变换将$\vec r$映向$\vec {r}'=T\vec r+\vec P$，其中$T$是常合同矩阵，于是$\frac{\partial \vec r'}{\partial u}=T\frac{\partial \vec r}{\partial u}$，$\frac{\partial \vec r'}{\partial v}=T\frac{\partial \vec r}{\partial v}$，容易得到$\vec n'={\rm Sgn[Det[}T]]T\vec n$，而${\rm d}\vec r'=T{\rm d}\vec r$故直接得到结论
Q.E.D

3.3-4曲面第二基本形式举例

• 考虑平面$\vec r=u\vec e_x+v\vec e_y$，第二基本形式为0
• 考虑柱面$\vec r=x_{[u]}[u]\vec e_x+y_{[u]}[u]\vec e_y+v\vec e_z$，同之前的讨论，$u$取$z=0$平面截得曲线的弧长参数
  
  • $\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2}=\frac{\partial^2 x}{\partial u^2}\vec e_x+\frac{\partial^2 y}{\partial u^2}\vec e_y$，$\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial v}=\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2}=0$，$\vec n=\frac{\partial y}{\partial u}\vec e_x-\frac{\partial x}{\partial v}\vec e_y$
  • $L=\frac{\partial^2 x}{\partial u^2}\frac{\partial y}{\partial u}-\frac{\partial^2 y}{\partial u^2}\frac{\partial x}{\partial v}$，$M=N=0$
• 可见第二基本形式确实可以将二者区分
  
  • 此外可以看到，由于$u$是弧长参数，$L$即为截面曲线的曲率负值
• 在球坐标参数下的球的第二基本形式：$a({\rm d}\theta{\rm d}\theta+({\rm Cos}[\theta])^2{\rm d}\varphi{\rm d}\varphi)$
  
  • 如果不细究球面的具体形式，而直接把球面表达为$(\vec r-\vec A)^2=R^2$并对$u$，$v$求偏导数就得到$\frac {\partial \vec r}{\partial u} \cdot (\vec r-\vec A)=0$和$\frac {\partial \vec r}{\partial v} \cdot (\vec r-\vec A)=0$，换言之$(\vec r-\vec A)$与$\vec n$垂直
  • 直接取$\vec n=\frac{(\vec r-\vec A)}{R}$容易验证$-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)=-\frac{1}{R}({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec r)$
  • 我们在下一节将看到，该命题的逆向命题一样成立

3.4法曲率与Weingarten变换

3.4-1法曲率

• 取定曲面的参数表达$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u,v]$与其上一固定点$\vec r_0=\vec r_{[u,v]}[u_0,v_0]$
  
  • 在曲面上任取一条曲线$\vec r=\vec r_{[u,v]}[u_{[s]}[s],v_{[s]}[s]]$，如果有$[u_{[s]}[s_0],v_{[s]}[s_0]]=[u_0,v_0]$则容易知道该曲线过$\vec r_0$
  • 曲线在该点的单位切向量为$\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d} s}=\frac{\partial \vec r}{\partial u} \cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}+\frac{\partial \vec r}{\partial v} \cdot \frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}$
  • 在该点的法向量： $$\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d} s^2}=\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2} \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\right)^2+2\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}+\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2}\left(\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}\right)^2+\frac{\partial \vec r}{\partial u} \frac{{\rm d}^2u}{{\rm d}s^2}+\frac{\partial \vec r}{\partial v} \frac{{\rm d}^2v}{{\rm d}s^2}$$
  • 该法向量不一定与曲面的法向平行，这是容易理解的，比如平面上的曲面的法向量在平面内
  • 我们讨论在曲面法向量上的投影，与曲面法向量内积后最后两项自动消失
• 法曲率被定义为 $$k_n:=(\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d} s^2},\vec n)=\\\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u^2},\vec n\right) \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\right)^2+2\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial u},\vec n\right)\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}+\left(\frac{\partial^2 \vec r}{\partial v^2},\vec n\right)\left(\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}\right)^2\\=L\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\right)^2+2M\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}+N\left(\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}\right)^2$$
  
  • 由于曲面的参数表达已经取定，对于所有经过$\vec r_0$的曲线，如果他们在该点具有相同的单位切向量，则他们在该点也具有相同的$\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}$和$\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}$，从而具有相同的法曲率
  • 从而法曲率只和取定的点和方向有关
  • 如果取方向$\vec w=\alpha \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\beta \frac{\partial \vec r}{\partial v}$，其归一化为$\frac{\vec w}{|\vec w|}=\frac{\alpha}{|\vec w|} \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\frac{\beta }{|\vec w|}\frac{\partial \vec r}{\partial v}$即为单位切向量
  • 该方向的法曲率为$k_n=L\left(\frac{\alpha}{|\vec w|}\right)^2+2M\frac{\alpha}{|\vec w|}\frac{\beta}{|\vec w|}+N\left(\frac{\beta}{|\vec w|}\right)$
  • 注意到$|\vec w|^2=\left(\alpha \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\beta \frac{\partial \vec r}{\partial v},\alpha \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\beta \frac{\partial \vec r}{\partial v}\right)=E\alpha^2+2F\alpha\beta+G\beta^2$
  • 得到$k_n=\frac{L\alpha^2+2M\alpha\beta+N\beta^2}{E\alpha^2+2F\alpha\beta+G\beta^2}$
• 从微分形式的角度看上式是显然的，因为$k_n=L\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\right)^2+2M\frac{{\rm d}u}{{\rm d}s}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}+N\left(\frac{{\rm d}v}{{\rm d}s}\right)^2=\frac{L{\rm d}u^2+2M{\rm d}u{\rm d}v+N{\rm d}v^2}{({\rm d}s)^2}=\frac{-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)}{({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec r)}$
  
  • 法曲率连接了第一基本形式和第二基本形式
• 显然法曲率是刚体运动的不变量

3.4-3法曲率的计算举例

• 球面的法曲率始终为$\frac{1}{R}$
  
  • 这一命题的逆向命题同样成立，事实上我们有

命题 若曲面的第二基本形式和第一基本形式始终成比例且不为0，则该比例不会是关于$u$，$v$的函数，进而该曲面为一球面
证明 设比例为$\lambda$，根据定义得到

$$-\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\frac{\partial \vec n}{\partial u}=\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\frac{\partial \vec r}{\partial u}$$ $$-\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\frac{\partial \vec n}{\partial v}=\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\frac{\partial \vec r}{\partial v}$$ $$-\frac{\partial \vec r}{\partial v}\cdot\frac{\partial \vec n}{\partial u}=\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\frac{\partial \vec r}{\partial v}$$ $$-\frac{\partial \vec r}{\partial v}\cdot\frac{\partial \vec n}{\partial v}=\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial v}\cdot\frac{\partial \vec r}{\partial v}$$ 即 $$\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\right)=0$$ $$\frac{\partial \vec r}{\partial v}\cdot\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\right)=0$$ 和 $$\frac{\partial \vec r}{\partial u}\cdot\left(\frac{\partial \vec n}{\partial v}+\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial u}\right)=0$$ $$\frac{\partial \vec r}{\partial v}\cdot\left(\frac{\partial \vec n}{\partial v}+\lambda\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right)=0$$ 同时根据$(\vec n,\vec n)=1$我们还知道$\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u},\vec n\right)=0$和$\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\vec n\right)=0$,于是有$\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u},\vec n\right)=0$，注意到$\frac{\partial \vec r}{\partial u}$，$\frac{\partial \vec r}{\partial v}$和$\vec n$的正交性即得$\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}=0$，同样$\frac{\partial \vec n}{\partial v}+\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial v}=0$分别对$v$，$u$求偏导数就得到 $$\frac{\partial^2 \vec n}{\partial u\partial v}+\lambda \frac{\partial^2 \vec r}{\partial u\partial v}+\frac{\partial \lambda}{\partial v}\frac{\partial \vec r}{\partial v}=0$$ $$\frac{\partial^2 \vec n}{\partial v\partial u}+\lambda \frac{\partial^2 \vec r}{\partial v\partial u}+\frac{\partial \lambda}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial u}=0$$ 相减并注意到偏导数的可交换性质得到 $$\frac{\partial \lambda}{\partial v}\frac{\partial \vec r}{\partial v}-\frac{\partial \lambda}{\partial u}\frac{\partial \vec r}{\partial u}=0$$ 由$\frac{\partial \vec r}{\partial u}$和$\frac{\partial \vec r}{\partial v}$的线性无关性立即得到 $$\frac{\partial \lambda}{\partial u}=\frac{\partial \lambda}{\partial v}=0$$ 即$\lambda$为常数，此时根据$\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}=0$和$\frac{\partial \vec n}{\partial v}+\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial v}=0$得到$\vec n+\lambda \vec r$为一个常向量，设为$\vec a$，于是$\vec r-\frac{\vec a}{\lambda}=\frac{\vec n}{\lambda}$，即$\left|\vec r-\frac{\vec a}{\lambda}\right|=\left|\frac{\vec n}{\lambda}\right|=\frac{1}{\lambda}$
Q.E.D

• 平面的法曲率始终为0
• 取圆柱面$\vec r=a{\rm Cos}[\frac{u}{a}]\vec e_x+a{\rm Sin}[\frac{u}{a}]\vec e_y+v\vec e_z$
  
  • 第一基本形式为$({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec r)={\rm d}u{\rm d}u+{\rm d}v{\rm d}v$
  • 第二基本形式为$-({\rm d}\vec r,{\rm d}\vec n)=-\frac{1}{a}{\rm d}u{\rm d}u$
  • 从第一基本形式不难看出$\frac{\partial \vec r}{\partial u}$和$\frac{\partial \vec r}{\partial v}$是正交的单位向量
  • 故可以取单位向量${\rm Cos}[\theta]\frac{\partial \vec r}{\partial u}+{\rm Sin}[\theta]\frac{\partial \vec r}{\partial v}$
  • 法曲率为$-\frac{1}{a}\left({\rm Cos}[\theta]\right)^2$
• 二次曲面$z=\frac{1}{2}\left(ax^2+by^2\right)$
  
  • 取$x,y$作为参数，$\vec r=x \vec e_x+y\vec e_y+\frac{1}{2}\left(ax^2+by^2\right)\vec e_z$
  • $\frac{\partial \vec r}{\partial x}=\vec e_x+ax\vec e_z$，$\frac{\partial \vec r}{\partial y}=\vec e_y+ay\vec e_z$
  • 第一基本形式为$(1+a^2x^2)\left({\rm d}x\right)^2+2abxy{\rm d}x{\rm d}y+(1+b^2y^2)({\rm d}y)^2$
  • 取单位法向量为$\vec n=\frac{-ax\vec e_x-by\vec e_y+\vec e_z}{\sqrt{1+a^2x^2+b^2y^2}}$
  • 由于$\frac{\partial^2\vec r}{\partial x^2}=a\vec e_z$，$\frac{\partial^2\vec r}{\partial x\partial y}=0$，$\frac{\partial^2\vec r}{\partial y^2}=b\vec e_z$
  • 第二基本形式写为$\frac{a({\rm d}x)^2+b({\rm d}y)^2}{\sqrt{1+a^2x^2+b^2y^2}}$
  • 对于单位切向量$\vec v=\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial x}+\mu \frac{\partial \vec r}{\partial y}$，法曲率可以写作$\frac{a\lambda^2+b\mu^2}{\sqrt{1+a^2x^2+b^2y^2}}$
  • 注意到法曲率符号和$a\lambda^2+b\mu^2$符号是一致的，于是得到以下结论
    当$ab>0$时法曲率对任何方向始终为正或为负
    当$ab<0$时存在两个不同方向，其法曲率为0
    当$ab=0$时只有一个方向的的法曲率为0
  • 恰好对应了椭圆抛物面、双曲抛物面和抛物柱面三种情况，如果$a，b$同时为0则退化为平面

3.4-3从法曲率看曲面分类

• 已经在3.3-2中得到第二基本形式分类的曲面
  
  • 由于第一基本形式是正定的，故法曲率的符号取决于第二基本形式
  • 从法曲率也能得到曲面的分类，且与之前的结果是一致的
  • 从法曲率的角度分类：
  • 第二基本形式正定$\Leftrightarrow$在该点任何切方向法曲率不变号$\Leftrightarrow$该点为椭圆点
  • 第二基本形式不定$\Leftrightarrow$在该点有两个方向法曲率为0$\Leftrightarrow$该点为双曲点
  • 第二基本形式退化且$L，M，N$不全为0$\Leftrightarrow$在该点有一个方向法曲率为0$\Leftrightarrow$该点为抛物点
  • $L，M，N$全为0$\Leftrightarrow$法曲率沿任何方向都为0$\Leftrightarrow$该点为平点
• 我们将法曲率为0的方向称为渐近方向。
  
  • 双曲点的两个渐近方向将曲面分割为4个区域，相对的两个区域内法曲率同号，相邻的两个区域法曲率变号
  • 抛物点的渐近方向将曲面分为两个方向，他们法曲率符号相同

3.4-4Gauβ映射与Weingarten变换

• 曲面上任意一点$\vec r_0=r_{[u,v]}[u_0,v_0]$有法向量$\vec n_0$
  
  • 可以建立从曲面向单位球面的映射将$\vec r_0$映射为$\vec n_0$
  • 上述映射称为Gauβ映射
• 设$u=u_{[t]}[t]，v=v_{[t]}[t]$，则$\vec r=r_{[u,v]}[u_{[t]}[t]，v_{[t]}[t]]=\vec r_{[t]}[t]$是曲面上的曲线
  
  • 沿曲线对法向量求微分得到$\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}=\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec n}{\partial v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$
  • 由于$\vec n$是单位向量，$(\vec n,\vec n)=1$，于是$\left(\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t},\vec n\right)=0$，即$\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}$是曲面的切向量
  • 上述结果不会被曲线的选择所影响，这意味着$\frac{\partial \vec n}{\partial u}$，$\frac{\partial \vec n}{\partial u}$均在切平面内
• 如果两条曲线在同一点拥有相同的$\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}$和$\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$
  
  • 通过参数平移使他们也拥有相同的$t$
  • 他们也拥有相同的切向量$\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}=\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec r}{\partial v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$
  • 同时他们还拥有相同的$\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}=\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec n}{\partial v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$
  • 这意味着切向量$\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}$唯一决定了$\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}$，与曲线的选取无关
  • 而$\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}$也是切向量
  • 由此可以定义切向量向切向量的线性变换$\frac{{\rm d} \vec r}{{\rm d}t}=\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec r}{\partial v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\rightarrow-\frac{{\rm d}\vec n}{{\rm d}t}=-\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{\partial \vec n}{\partial v}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\right)$
  • 更一般地，作$W\left[\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right]=-\left(\lambda \frac{\partial \vec n}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)$，称为Weingarten变换
• 直观上看Weingarten变换是曲面上本征的性质，应该和参数选择无关，事实上我们确实有如下定理

定理 Weingarten变换与曲面的选择是无关的
证明 设有参数变换$u'=u'_{[u,v]}[u,v]$，$v'=v'_{[u,v]}[u,v]$，存在逆向变换$u=u_{[u',v']}[u',v']$，$v=v_{[u',v']}[u',v']$，同一切向量在两组参数下分别表示为$\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\mu \frac{\partial \vec r}{\partial v}$和$\lambda' \frac{\partial \vec r}{\partial u'}+\mu' \frac{\partial \vec r}{\partial v'}$显然二者相等
根据坐标变换公式有

$$\frac{\partial \vec r}{\partial u'}=\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial u'}+\frac{\partial \vec r}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial u'}$$ $$\frac{\partial \vec r}{\partial v'}=\frac{\partial \vec r}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial v'}+\frac{\partial \vec r}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial v'}$$ 于是有 $$\lambda=\lambda'\frac{\partial u}{\partial u'}+\mu'\frac{\partial u}{\partial v'}$$ $$\mu=\lambda'\frac{\partial v}{\partial u'}+\mu'\frac{\partial v}{\partial v'}$$ 在两参数下Weingarten变换分别映射到$-\left(\lambda\frac{\partial \vec n}{\partial u}+\mu \frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)$和$\left(\lambda' \frac{\partial \vec n}{\partial u'}+\mu' \frac{\partial \vec n}{\partial v'}\right)$而 $$\frac{\partial \vec n}{\partial u'}=\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial u'}+\frac{\partial \vec n}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial u'}$$ $$\frac{\partial \vec n}{\partial v'}=\frac{\partial \vec n}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial v'}+\frac{\partial \vec n}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial v'}$$ 直接代入验证就能得到结果
Q.E.D

• 通过取单位切向量$\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec r}{\partial v}$的Weingarten变换$-\lambda \frac{\partial \vec n}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec n}{\partial v}$与该向量自身的内积$\left(\lambda \frac{\partial \vec r}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec r}{\partial v}，-\lambda \frac{\partial \vec n}{\partial u}+\mu\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=\lambda^2 L+2\lambda\mu M+\mu^2N$直接得到了该方向的法曲率
• 此外Weingarten变换是一个自伴变换，即

定理 Weingarten变换满足$\left(W[\vec \alpha],\vec \beta\right)=\left(\vec \alpha,W[\vec \beta]\right)$
证明 设$\vec \alpha=\alpha_u\frac{\partial \vec r}{\partial u}+\alpha_v\frac{\partial \vec r}{\partial v}$，$\vec \beta=\beta_u\frac{\partial \vec r}{\partial u}+\beta_v\frac{\partial \vec r}{\partial v}$
注意到$\left(\frac{\partial \vec r}{\partial u},\frac{\partial \vec n}{\partial v}\right)=\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u},\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right)$，直接展开即可
Q.E.D

3.5主曲率、平均曲率与Gauβ曲率

3.5-1Weingarten变换矩阵与其特征值

• 取定参数后Weingarten变换表达为矩阵
  
  • 取定切平面的基为$\frac{\partial \vec r}{\partial u}$和$\frac{\partial \vec r}{\partial v}$
  • 设变换矩阵为$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right]$，则有
  • $W\left[\frac{\partial \vec r}{\partial u}\right]=-\frac{\partial \vec n}{\partial u}=a\frac{\partial \vec r}{\partial u}+b\frac{\partial \vec r}{\partial v}$
    $W\left[\frac{\partial \vec r}{\partial v}\right]=-\frac{\partial \vec n}{\partial v}=c\frac{\partial \vec r}{\partial u}+d\frac{\partial \vec r}{\partial v}$
  • 将$\frac{\partial \vec r}{\partial u}$和$\frac{\partial \vec r}{\partial v}$与上式内积得到
    $L=aE+bF$
    $M=aF+bG=cE+dF$
    $cF+dF$
  • 于是得到：$\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right]=\frac{1}{EG-F^2}\left[ \begin{matrix} LG-MF & ME-LF \\ MG-NF & NE-MF \\ \end{matrix}\right]$
• 注意到Weingarten变换是自伴的，对应的矩虽不一定是实对称的(因为坐标不是正交的)，但总是可以通过坐标正交化的步骤得到实对称矩阵，从而知道Weingarten矩阵一定有两个实特征值和两个特征向量
  
  • 把两个特征值写为$k_1$和$k_2$
  • 他们是方程${\rm Det}\left[\left[ \begin{matrix} a-k & b \\ c & d-k \\ \end{matrix}\right]\right]=0$的两个根
  • 即他们满足方程$k^2-\frac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}k+\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=0$
  • 我们把两个根叫做主曲率，将两根的平均值叫做平均曲率，而两根的乘积叫做Gauβ曲率
  • 根据Vitta定理得到
    平均曲率$H=\frac{1}{2}\frac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}$
    Gauβ曲率$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$

3.5-2Euler公式与主曲率的几何意义

• 在线性代数中我们知道属于不同特征值的特征子空间是两两正交的
  
  • 两个主曲率对应的方向是垂直的
  • 这两个方向叫做主方向，设为$\vec e_1$和$\vec e_2$，有$W\left[\vec e_1\right]=k_1\vec e_1$，$W\left[\vec e_2\right]=k_2\vec e_2$
  • 取一个方向${\rm Cos[}\theta] \vec e_1+{\rm Sin[}\theta]\vec e_2$,其法曲率为$\left(W\left[{\rm Cos[}\theta] \vec e_1+{\rm Sin[}\theta]\vec e_2\right],{\rm Cos[}\theta] \vec e_1+{\rm Sin[}\theta]\vec e_2\right)=\\\left(k_1{\rm Cos[}\theta] \vec e_1+k_2{\rm Sin[}\theta]\vec e_2,{\rm Cos[}\theta] \vec e_1+{\rm Sin[}\theta]\vec e_2\right)=\\k_1\left({\rm Cos[}\theta])^2+k_2({\rm Sin[}\theta]\right)^2$
  • 可见$k_1$和$k_2$之间一个是法曲率最大值一个是最小值，而法曲率取值于二者之间
  • 上述结果称为Euler公式，揭示了曲面法曲率与主曲率的关系
• 如果在某处有$\left[ \begin{matrix} \vec e_1 \\ \vec e_2 \\ \end{matrix}\right]=A\left[ \begin{matrix} \frac{\partial \vec r}{\partial u} \\ \frac{\partial \vec r}{\partial v} \\ \end{matrix}\right]$则通过局部变换$\left[\begin{matrix}{\rm d}u' & {\rm d}v'\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}{\rm d}u & {\rm d}v\end{matrix}\right]A^{-1}$可得到$\left[ \begin{matrix} \frac{\partial \vec r}{\partial u'} \\ \frac{\partial \vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} \vec e_1 \\ \vec e_2 \\ \end{matrix}\right]$
  
  • 参数$u'，v'$是一个正交参数网
  • 此时曲面在该处有
    $L=-\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u'},\frac{\partial \vec r}{\partial u'}\right)=\left(W\left[\vec e_1\right],\vec e_1 \right)=k_1$
    $M=-\left(\frac{\partial \vec n}{\partial u'},\frac{\partial \vec r}{\partial v'}\right)=\left(W\left[\vec e_1\right],\vec e_2 \right)=0$
    $N=-\left(\frac{\partial \vec n}{\partial v'},\frac{\partial \vec r}{\partial v'}\right)=\left(W\left[\vec e_2\right],\vec e_2 \right)=k_2$
  • 回到微分形式，注意到$\left[ \begin{matrix} \frac{\partial \vec r}{\partial u'} \\ \frac{\partial \vec r}{\partial v'} \\ \end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix} \vec e_1 \\ \vec e_2 \\ \end{matrix}\right]$，有$\Delta \vec r={\rm d}\vec r+\frac{1}{2}{\rm d^2}\vec r+o({\rm d}^2\vec r)$
    $={\rm d}u \vec e_1+{\rm d}\vec v e_2+\frac{1}{2}(k_1({\rm d}u)^2+k_2({\rm d}v)^2)\vec e_3+o({\rm d}^2\vec r)$，其中$\vec e_3$与$\vec e_1$，$\vec e_2$组成右手系
  • 这意味着曲面$u \vec e_1+\vec v e_2+\frac{1}{2}(k_1(u)^2+k_2(v)^2)\vec e_3$是近似曲面
  • 这个曲面在之前已经研究过，我们通过研究主曲率的方式回到了这一曲面，表明之前的曲面分类讨论是合理的，并且渐近方向就是主曲率所在的方向