数学教学大纲

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人最宝贵的东西是生命,生命属于人只有一次.一个人的一生应该是这样度过的：当他回首往事的时候，他不会因为虚度年华而悔恨，也不会因为碌碌无为而羞耻；这样，在临死的时候，他就能够说：“我的整个生命和全部精力，都已经献给世界上最壮丽的事业——为人类的解放而斗争。
——保尔·柯察金

小学

一年级

• 数的认识；100以内加减法；乘法口诀表；整数的除法与带余除法
• 数的整除性质；质数与合数的分解；$\mathbb Z_n$上的加法和减法；剩余类是群
• 点和直线；角度；三角形；直线的平行关系；四边形的分类；面积

二年级

• 较大的数；多位数的加减法和乘除法；分数、有理数、小数
• 用字母表示数；一元一次方程的求解；应用题；一元一次不等式
• 整数的加法群、乘法群；乘法的分配性质；整数是环；由整数环构造有理数域；
• 欧几里得几何公理系统；三角形的全等关系；平行四边形的性质、梯形的性质、菱形的性质

三年级

• 朴素集合论；群的抽象结构；$\mathbb Z_p^*$上的乘法群；欧拉定理；RSA算法
• 同余方程；同余方程组；中国剩余定理
• 幂运算、对数运算、指数运算；一元二次方程求解；$\sqrt 2$是无理数；朴素实数论
• 平面坐标系统；坐标系上的直线；坐标系与二元一次方程
• 向量、坐标系上的向量；平面坐标的线性结构；内积

四年级

• 实数是域；环的抽象结构、域的抽象结构
• 多项式的运算和因式分解；多项式的带余除法、多项式环
• 分式和根式的运算；分式和根式方程；三次方程、${\rm i}$的引入；复数运算
• 函数的朴素观念；一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数；
• 多元方程的求解；线性空间的结构；矩阵的乘法；高斯约当消去；Schmidt正交化步骤
• ${\rm GL_n(\mathbb R)}$群；群的阿贝尔性；子群与正规子群；商群；$\rm SO(3)-\rm SU(2)$同构；循环群；${\rm S_n}$与${\rm A_n}$；Sylow定理；群的直积

五年级

• 相似形；锐角三角比、三角函数
• 严格的集合论；映射；等价关系；笛卡尔积
• 数列的性质和运算、极限、朴素的求导和积分
• 环的理想和同构；整数的唯一分解；UFD、PID和ED；域上多项式环是ED；拉格朗日定理
• 圆、椭圆、抛物线、双曲线；平面解析几何
• 二次互反；费马方程；Pell方程

六年级

• 实数的戴德金划分；区间的性质；势的比较；拓扑空间；开集和闭集；严格的极限、导数和积分理论；无穷级数理论
• 代数扩张、代数闭域；实数域是代数闭域；正规扩域、可分扩张、Galios理论、尺规作图问题
• 二次型理论、特征值和特征向量、矩阵的对角化、酉矩阵和厄米矩阵
• 排列和组合；概率；期望；$\sigma$-代数；条件概率；二维随机变量
• 统计；频率；平均值、期望、方差；条件期望和方差；泊松过程、高斯分布、布朗运动
• 二人零和博弈、策梅洛定理、二人非零和博弈