Lecture 3 补充材料

中学物理

1. 课堂问题补充

假定一个小物体受到恒定的推进力$F$，并假定其受到阻力$F'=-kv^2$，求：
1. 其EOM
2. 假定其在$t=0$时刻$v=0$, $x=0$，求其任意时刻的$v$与$x$
这是你作业的第一题

2.常系数常微分方程问题

2.1 齐次常系数常微分方程

DEF: 称一关于$x(t)$的常微分方程为齐次常系数的常微分方程，如果其形式为：
$\sum_{i=0}^N A_ix^{(i)}(t)=0$
其中所有的系数$A_i$都是常数，$N$称为阶数

例如，方程$x^{(2)}(t)=0$, $2x^{(3)}(t)+3x^{(2)}(t)+6x(t)=0$都是齐次常系数的常微分方程，前者是2阶的，后者是3阶的。

注意：$x^{(2)}(t)+1=0$不是齐次常系数的常微分方程，因为$i=0$项总是对应$x^{(0)}(t)=x(t)$（零阶导数），从而这个方程不存在常数项。事实上，这个方程被称为非齐次。如何处理非齐次问题，我们以后会说。

2.2 齐次常系数常微分方程的解

DEF: 称某一个特定的$x(t)$为方程的特解，如果它是方程的解

例如，$x(t)=0$是方程$x^{(2)}(t)=0$的一个特解

DEF: 称满足一定条件的$x(t)$全体为方程的通解，如果：
1. 该方程所有的解都被满足该条件的$x(t)$包涵 （不遗漏）
2. 满足该条件的$x(t)$的全体均满足该方程 （无差错）

简单的说，通解是所有的特解的集合，相当于寻找个一公式使得它无差错不遗漏地产生所有的特解

对$x^{(2)}(t)=0$而言，其通解是$x(t)=C_1t+C_2$. 如果取$C_1=C_1=0$就可以得到一个特解$x(t)=0$。它的另一个特解，比如$x(t)=2t$（自己验证！），可以通过$C_1=2, C_2=0$生成。

注：通解和特解的概念在普通的代数方程中一样存在。比如方程$2x+y=1$有一个通解是$x=0,y=1$。试找到他的通解（这是你的作业题2）

2.3 齐次常系数常微分方程的线性性

继续考虑$x^{(2)}(t)=0$，我们知道$x=2t+1$是其一个解（自己验证！），而且$x=-6t$是也其一个解（自己验证！！），那么他们相加$x=-4t+1$也是其一个解（自己验证！！！）

齐次常系数常微分方程的线性性： 假定方程$\sum_{i=0}^N A_ix^{(i)}(t)=0$有两个特解$x_1(t)$与$x_2(t)$，那么$Ax_1(t)+Bx_2(t)$也是方程的一个特解，其中$A, B$为常数。
尝试证明这个结论（这是你作业的第三题）

$Ax_1(t)+Bx_2(t)$总是被称为线性组合

2.4 函数的线性相关性

仍然考虑$x^{(2)}(t)=0$，我们已经列出了$x=2t+1$，$x=-6t$和$x=-4t+1$这样的解，还可以列出更多，例如$x=t$，$x=1$，···。但我们不妨考虑一下他们之间的关系：

1. 考虑$x_1=2t$和$x_2=t$，相当显然，$x_1=2x_2$
2. 考虑$x_1=1$和$x_2=8$,相当显然，$x_1=\frac{1}{8}x_2$
3. 考虑$x_1=2t+1$，$x_2=-6t$和$x_3=-4t+1$，有$x_3=x_2+x_1$
4. 考虑$x_1=2t$和$x_2=1$，他们之间似乎没什么关系
5. 考虑$x_1=t+1$和$x_2=9$，他们之间似乎没什么关系
6. 考虑$x_1=4t+7$和$x_2=6t$，他们之间似乎没什么关系

一般的，如果可以找到一个常数$A$，使得$x_2=Ax_1$，就说$x_2$与$x_1$线性相关，否则我们说他们线性无关。
如果可以找到两个常数$A_1,A_2$，使得$x_3=A_1x_1+A_2x_2$，就说$x_1$,$x_2$与$x_3$线性相关，否则我们说他们线性无关。
同样可以构造更多的线性相关，但数学上这种写法不美观。注意$1$到自己也是常数，不如直接将$1\cdot x_3=A_1x_1+A_2x_2$写成$-1\cdot x_3+A_1x_1+A_2x_2=0$。这等价于说存在不全为0的$A_1,A_2,A_3$

注意这里甚至不要求$A_3=-1$，因为只要$A_3\not=0$，我总可以通过两边同是除以$-A_3$来让$x_3$的系数为$-1$。

DEF: 称一组函数$x_i$线性相关，如果存在不为零的常数$A_i$使得
$\sum_i A_ix_i=0$

于是我们可以说$x=t$，$x=1$与$x=2t+1$是线性相关的，但$x=t$，$x=1$是线性无关的。

2.5 齐次常系数常微分方程的通解结构

我们注意到$x^{(2)}(t)=0$的通解是$x(t)=C_1t+C_2$，这可以通过积分法快速解出。但另一方面，我们注意到$x_1=t$, $x_2=1$本身是两个解，即该方程的通解是由两个特解组合得到的，这样的组合称为线性组合，我们说，方程的通解是由两个线性组合得到的，即$x=C_1x_1+C_2x_2$

如果我选取另外的两个解，比如$x_1=t$, $x_2 = 2t-1$，能不能组合出通解呢？答案是可以的，因为我可以构造$x_3 = 2x_1-x_2=1$，于是$x(t)=C_1t+C_2=C_1x_1+C_2(2x_1-x_2)=(C_1+2C_2)x_1-C_2x_2$这也具有$x=C_1x_1+C_2x_2$这样的形式。

但是不是我任意取两个特解都可以线性组合出一个通解？答案是否定的。比如我选择$x_1=t$, $x_2=2t$，这时候我无论如何都只能组合出$C_1t$的形式，会漏掉$C_2$这个常数项，但通解是要求把所有满足条件的解都包括的

为什么通解要求包括所有的解？我们考虑一个真正的$x^{(2)}(t)=0$，也就是在物理上$a=0$的问题，直线运动的结论告诉你$a=0$对应的运动是$v=C_1$也是就$x=vt+C_2$，或者通过微分方程也是同样的结果，而$C_1$和$C_2$是通过初始条件，也就是$t=0$时刻的$v$和$x$给出的，假设我漏掉了$C_2$这个常数项，得到了$x=C_1t$的解，但初始条件告诉你$t=0$时刻$x=x_0$（假定为5米），$v=v_0$。于是你得到$C_1=v_0$。但是$x=v_0t$无法满足$t=0$时候$x=x_0$（5米）。

所以$x_1=t$, $x_2=2t$这样的通解和$x_1=t$, $x_2 = 2t-1$有什么不同呢？答案是：$x_1=t$, $x_2=2t$是线性相关的，而$x_1=t$, $x_2 = 2t-1$是线性无关的。

现在我们知道，$x^{(2)}(t)=0$的通解$x(t)=C_1t+C_2$可以用两个线性无关的解来线性表达，但是有没有可能存在第三个解$x_3$它和$x_1$，$x_2$都无关呢？

直观想不可能。因为$C_1t+C_2$包涵了$t$的零次方和1次方，如果要寻找一个和$t$的零次方和1次方都无关的函数可能需要2次方，但这超出了通解的范围。

这个结果是对的，但这部分内容的证明超出了我们现在的数学水平。不过，下面这个定理非常重要，我们不加证明地引用这个定理

齐次常系数常微分方程的通解结构
1. $N$阶齐次常系数常微分方程有且仅有$N$个线性无关的解
2. $N$阶齐次常系数常微分方程的通解是这有$N$个线性无关的解的线性组合

这个定理的第一部分告诉你为什么$x^{(2)}(t)=0$的通解只有两个线性无关的项，比如$x_1=t$, $x_2 = 2t-1$或者最直接的$x_1=t$, $x_2=1$等等，第二部分告诉你一旦你找到了$N$的线性无关的解，他们加起来就是通解，不会有任何遗漏。

现在回顾来想，我们当然能找到$x^{(2)}(t)=0$的三个解$x_1$，$x_2$和$x_3$，但定理的第一部分告诉了我们这三个解一定是线性相关的，我可以把$x_3$用$x_1$，$x_2$表达出来，所以本质上他的解还是$x_1$，$x_2$线性组合成的。

当然，带$x^{(3)}(t)$的就有三个线性无关的特解，$x^{(4)}(t)$就有四个，以此类推。

2.6 $x^{(2)}(t)+\omega^2x(t)=0$的解的结构

我们之前一直在讨论$x^{(2)}(t)=0$这样的非常简单的解，现在我们回到之前一直讨论的$x^{(2)}(t)+\omega^2 x(t)=0$这个方程。根据之前讨论，我们显然要找到两个线性独立的解$x_1$和$x_2$，但我们已经熟知的$x^{(2)}(t)+ x(t)=0$的解：$x_1={\rm Sin}(t)$,$x_2 = {\rm Cos}(t)$，于是$x^{(2)}(t)+\omega^2 x(t)=0$的解很容易猜出来：$x_1={\rm Sin}(\omega t)$, $x_2={\rm Cos}(\omega t)$，于是根据定理，通解是$x=A_1x_1+A_2x_2=A_1{\rm Sin}(\omega t)+A_2{\rm Cos}(\omega t)$

我们知道根据三角函数变换，$A_1{\rm Sin}(\omega t)+A_2{\rm Cos}(\omega t)$也可以写成$A{\rm Cos}(\omega t+\varphi)$这样的形式。

这里可能有出现一个疑惑：我们说了通解是两个特解相加，但现在怎么又只有一个$A{\rm Cos}(\omega t+\varphi)$了呢？这样会不会漏解呀？是不是要加一个${\rm Sin}$项？
要解答这个问题，我们必须回到定理。定理告诉我们通解是两个特解相加，但这并没有限制相加之后的形式，而我们知道$A{\rm Cos}(\omega t+\varphi)$就是两个三角函数相加的结果。
更具体一些说，其实$A{\rm Cos}(\omega t+\varphi)$这样的函数虽然看起来和${\rm Cos}(\omega t)$很像，但它自己却和${\rm Cos}(\omega t)$线性无关！当然他也不和${\rm Sin}(\omega t)$线性相关，他长着一张${\rm Cos}$的脸，但实际上确确实实是${\rm Cos}(t)$和${\rm Sin}(t)$两个函数的线性组合！
到这里也许有人会问，既然我用一个${\rm Cos}$就解决问题了，何必之前出现${\rm Sin}$呢，这不是多此一举么？其实这正是这个$\varphi$的奥义。如果没有这个$\varphi$，只用${\rm Cos}$或者只用${\rm Sin}$都会漏解，只有补充了这个$\varphi$参数，让他从定死的0变成一个可变的参数，它才真正变成了线性组合，让你用一个${\rm Cos}$解决了之前要用两个函数才能表达的线性组合。