exercise_09 study of the behavior for other types of tables

exercise3.31
姚媛媛 2014301020047

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摘要

本节我们建立了一个桌球模型，在这个模型中假设球是可以看做质点的弹性球，并且不考虑摩擦损耗，桌球在台面上反射时是完全弹性的。当桌面对称性较高是比较容易观测到周期运动，但是桌面形状对称性略低，则大部分看到的都应该是混沌现象。在模拟中我们都考虑只有一个球的情况。

关键词： 桌球模型 摩擦损耗 完全弹性 混沌现象

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背景

引入问题：
Problem3.31.Study the behavior for other types of tables. One interesting possibility is a square table with a circular interior wall located either in the center, or slightly off-center. Another possibility is an elliptical table.
书中已经给出了在矩形边界内碰撞的例子：

接下来，我们将讨论在其他种类的桌面上，小球的运动状态。

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正文

因为不考虑摩擦损耗，小球的碰撞可以看做是完全弹性的，此时速度$v$不变。所以有

$$\frac{dx}{dt}=v_x$$

$$\frac{dy}{dt}=v_y$$
在碰撞点，设$\hat n$为此处的单位法向量，$\vec v_{i,\bot}$和$\vec v_{i,\Vert}$分别为垂直和平行于碰撞平面的速度分量。它们分别为
$$\vec v_{i,\bot}=(\vec v_i·\hat n)\hat n$$ $$\vec v_{i,\Vert}=\vec v_i-\vec v_{i,\bot}$$
于是我们可以得到反射后的速度关系
$$\vec v_{f,\bot}=-v_{i,\bot}$$ $$\vec v_{f,\Vert}=v_{i,\Vert}$$
由以上关系可画出不同的图形

圆形的边界面：

其平面图如下

在y=0扫描的相空间图像

可见轨迹是对称的，是一个周期性系统而不是混沌系统。

圆环形的边界面
$x^2+y^2=1,x^2+y^2=4$

此时的图像也呈一个漂亮的周期性变化。

方形的有边界桌面，内部有圆形的墙阻挡

此时台球做的是混沌运动。
当内部的小圆不是处于桌子的正中间，可以想象，小球的运动应该并没有什么规律，台球在这张桌子上的运动是混沌运动。
CODE

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结论

选的这几种情况都蛮好，台球的运动都是有规律的周期性运动。只有最后一种情况下是混沌的不规则的运动。

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致谢

感谢蔡浩老师的PPT及课本。