exercise_11 the behavior of Hyperion

exercise4.19
姚媛媛 2014301020047

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摘要

利用土卫七的的简化模型，研究不同初值状态下土卫七的行为特点。并观察了李雅普诺夫指数随着轨道偏心率的变化关系。通过作图观察到随着椭圆轨道偏心率的增大，李雅普诺夫指数也随之增大。

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背景

土卫七是1848年由美国天文学家邦德（G. Bond）和英国的拉塞尔（W. Lassell）各自独立发现，距土星1482000公里，看起来土卫七像是一颗大星体的碎片，表面有如海绵。它是目前所发现太阳系中最大的一颗非球形天体，也是太阳系中已知星体中唯一一个自转会混沌的星体，它是土星已知卫星中距土星第十六近的一颗。从外形上看，它只有在两个方向上可以保持稳定的旋转状态（物理学家们将这种形状的物体称为不对称回转体）。然而，由于受到太阳系各大行星和土星其他卫星的影响，土卫七的旋转极不规则，因此很难预测其上何时会是“白天”，何时是“夜晚”。

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正文

土卫七是土星的一颗卫星，其形状不是通常的球形。这里我们用一根细杆连接着的两个等质量质点来模拟土卫七。
以土星为坐标原点建立坐标系，在此中两质点坐标为$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,他们的质心坐标为$(x_c,y_c)$,将卫星的运动看作质心绕着土星的运动和两个质点绕着质心的运动。 可以得到方程

$$\frac{dw}{dt}\approx-\frac{3GM_{Sat}}{r_c^5}(x_csin\theta-y_ccos\theta)(x_vcos\theta+y_csin\theta)$$
通过Euler-Coromer方法计算可以得到$\theta$,$w$的关系。

1，当其质心做圆周运动时，有

此时，系统不呈现混沌现象，角速度与角度的关系为

2，当其质心做椭圆运动时，有

由图可知，系统的角度变化呈现明显的混沌现象。此时，角速度与角度的关系为

3，混沌现象的最重要特征就是对初值的高度敏感性。我们令质心做椭圆运动，同时令两个星球初始角度相差$0.01rad$，观察其角度差的变化。

可见，角度差随时间以指数形式增加。之后之所以停止增加，是因为我们设定角度的最大值为$2\pi$。
接下来，我们去除这个角度的约束，看看此时角度差的变化情况

可见，去除掉对角度的束缚之后，原图中的突兀的垂直线消失了。

4，轨道的偏心率对角度差的影响

取不同的偏心率，得到拉普洛夫指数如下：

本次作业代码

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结论

通过以上作图观察，可以得到：土卫七的自转运动呈现明显的混沌现象；随着轨道的偏心率的增大，拉普洛夫指数会发生改变，但是趋势不是很明确。

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致谢

Mr.Cai Hao's PPT
Computational physics by Nicholas J.Giordano,Hisao Nakanishi.
Guo Zhongzhi's excercise for reference.