exercise_04：可衰变原子A和B的相互转换

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1.摘要

许多物理问题都需要用常微分方程来解决。比如说抛物运动，简谐运动和天体力学等。衰变问题是一类很普遍的可以用一阶常微分方程解决的问题。本题是用常微分的方法解决两种粒子相互衰变转化的问题，基本出发点是用泰勒展开，再取近似。最后需用不同的“step sizes”测试程序是否正确。

关键词： 衰变 转化 一阶 常微分方程 泰勒展开 测试

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2.背景介绍

题目：在一个系统中，有两种可衰变的原子A和B。其中A会衰变成B，B会衰变成A。因为A衰变成B的这个过程是可逆的，所以严格意义上来说，这并不是一个“衰变”。一个更恰当的说法是在这个系统中AB两种原子可以互相转化且保持能量不变。描述这个过程的速率方程是

$$\frac{dN_A}{dt}=\frac{N_B}{\tau}-\frac{N_A}{\tau}$$ $$\frac{dN_B}{dt}=\frac{N_A}{\tau}-\frac{N_B}{\tau}$$
为了简便，我们假设这两种衰变的衰变周期都为 $\tau$。解这个方程中原子 $N_A$和$N_B$关于时间的方程。考虑不同的初始条件，例如$N_A$=100, $N_B$=0, $\tau$=1s。

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3.正文

一，题目分析

在t=0时对原子数量做泰勒展开

$$N(\Delta t)=N(0)+\frac{dN}{dt}\Delta t+\frac{1}{2}\frac{d^2N}{dt^2}(\Delta t)^2+...$$
若$\Delta t$足够小，则可取前两项作为近似，得到

$$N(\Delta t)=N(0)+\frac{dN}{dt}\Delta t$$
$N$对$t$的导数是
$$\frac{dN}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}\approx\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}$$
所以有
$$N(t+\Delta t)\approx N(t)+\frac{dN}{dt}\Delta t$$

其中误差项为$(\Delta t)^2,t$的取值为$t=0, t=\Delta t, t=2\Delta t$。又由衰变过程的速率方程得

$$N_A(t+\Delta t)\approx N_A(t)+(\frac{N_B}{\tau}-\frac{N_A}{\tau})\Delta t$$

$$N_B(t+\Delta t)\approx N_B(t)+(\frac{N_A}{\tau}-\frac{N_B}{\tau})\Delta t$$

二，代码模拟

import pylab as pl
Number_A=[]
Number_B=[]
t=[]
print("the number of A nuclei is")
number_a=input()
Number_A.append(number_a)
print("the number of B nuclei is")
number_b=input()
Number_B.append(number_b)
print("the time of decay is")
t_decay=input()
print("the time step is")
dt=input()
 t.append(0.0)
for i in range(100):
  NA=Number_A[i]+((Number_B[i]-Number_A[i])/t_decay)*dt
  NB=Number_B[i]+((Number_A[i]-Number_B[i])/t_decay)*dt
  tadd=t[i]+dt
  Number_A.append(NA)
  Number_B.append(NB)
  t.append(tadd)
t_max=t[-1]
pl.plot(t,Number_A,'red')
pl.plot(t,Number_B,'green')
pl.title('the decay between A and B')
pl.xlabel('the time of decay')
pl.ylabel('number of nuclei')
pl.show()

三，图像
初始条件 $A=100$,$B=0$,$\tau=1s$,$\Delta t=0.05s$时的图像：

初始条件 $A=100$,$B=0$,$\tau=1s$,$\Delta t=0.1s$时的图像：

初始条件 $A=80$,$B=20$,$\tau=1s$,$\Delta t=0.05s$时的图像：

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4.结论

在这样一个系统中，两种原子的数目最终会趋于一致。此时$N_A$和$N_B$的数目恒定不变，系统达到稳定状态。在这样一个稳定的状态下，$N_A$和$N_B$关于时间的导数为0 。

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5.致谢

本次作业参考了书上的算法及老师上课所使用的PPT，同时为了写公式还查了下letex的语法，在此表示感谢。同时不足之处欢迎大家指正！