@yyyyao 2016-12-11T23:49:37.000000Z 字数 1469 阅读 347

exercise_12 the capacitor problem

exercise5.7
姚媛媛 2014301020047

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摘要

静电势问题是经典电动力学的重要问题。在无源区域，静电势满足Laplace方程，从而只要在一定的边界条件下求解Laplace方程就可以得到静电势的空间分布。求解偏微分方程没有一般的方法，但是对诸如Poisson方程在内的一大类方程，可以采用所谓的松弛算法(relaxation method)去求解。本次作业完成课后习题5.7，讨论了松弛算法的两种具体情形(Jacobi、simultaneous over-relaxation(SOR))的迭代收敛速度问题。　　

背景

在不存在电荷的空间中，电势的分布遵循拉普拉斯方程:

$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$

如果加上边界条件，理论上我们就可以解出电势 $V$ 。但是除了一些特殊的边界条件以外，对于这类问题我们难以得到解析解。所以我们必须使用数值计算的方法，得到电势的数值解。理论分析表明，对于本文中所讨论的情况，二维网格化离散的情况下，非边界上的点的电势相等于其周围最近的四个点的电势的平均值。
在本文中我们使用的方法是relaxation method，这种方法可以用来数值求解以拉普拉斯方程为代表的一类所谓的“椭圆偏微分方程”。
这种方法也是有不同的版本，最简单的一种是Jacobi方法。Jacobi方法的精髓是从一个符合边界条件的猜测解开始，通过迭代，使得数值解收敛于真实的解。
Jacobi方法的改进版是Gauss-Seidel方法。在计算中，我们总是算完一个点再算另一个点，也就是逐点更新计算结果。该方法主要的改进是在计算某一点的电势时，使用之前的点已经更新后的数据。
Gauss-Seidel方法的改进版是simultaneous over-relaxation （SOR）方法。在这种方法中引入了参数 $\alpha$ ，从而增大了收敛速度。

正文

1，电容器周围的电势场
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我们首先使用Gauss-Seidel方法，对电容器附近的电势进行求解，求得的电势分布如图所示：

由图可知，空间中的电势场在左侧平板上呈现一个峰，在右侧平板上呈现一个谷。整体的分布情况与我们的直觉相符。下图为由电势分布推导出的电场分布：
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由图可知，电场线主要从左侧板流向右侧板，板间的电场是均匀的。