exercise_10 Kepler's Law and The Solar System

exercise 4.9
姚媛媛 2014301020047

1.摘要

本次作业研究太阳系中行星运动问题。相比于地球上的物体运动受到显著的空气阻力影响，行星运动是良好的物理观测场所。17世纪开普勒发现行星运动三大定律，而后牛顿又成功地用万有引力定律解释了开普勒定律，行星运动的研究推动了物理学的发展。本次作业完成了课后习题4.9。

关键词： 行星运动 空气阻力开普勒三定律 万有引力定律

2.背景介绍

牛顿的万有引力定律给出了两个质点之间的引力相互作用的规律。在太阳系中，行星受到太阳的引力作用为

此式连同牛顿第二定律，就可以给出行星运动规律。倘若考虑太阳的有限质量，则行星与太阳二体问题也容易解决，只需要把惯性质量$M_E$全部换成所谓的约化质量$\mu=\frac{M_SM_P}{M_S+M_P}$，则仍可形式上地利用牛顿第二定律解决行星相对太阳的运动问题。
　　通过简单的积分可以得到行星运动的轨道方程为

其中$l=\frac{L^2}{\mu GM_PM_S}$, $e$是轨道离心率，其取值可以决定轨道性态。由这样的轨道方程就可以给出开普勒的三大定律。需要注意的是，开普勒三定律是牛顿引力理论即平方反比引力的结果，若力不是平方反比的，则开普勒定律就不成立，行星也一般不存在闭合轨道。下面就来逐步研究行星运动问题。

3.正文

模拟太阳系
下面是用Vpython模拟了太阳系中水星、金星、地球、火星的运动。之所以没有加入其它行星，是由于其它行星距离太阳的距离太远，如果加入在图中就看不到前几颗行星了。

轨迹随初始速度大小的变化
我们考察当初始速度大小不同时，地球的轨迹会有什么不同。设定地球初始速度大小分别为$2.1\pi$、$2\pi$、$1.5\pi$（AU/yr），方向与地日连线垂直。当速度为$2\pi$时，地球正好做圆周运动。

由图可知，当速度不是$2\pi$时，地球做椭圆运动，这符合开普勒第一定律。随着速度的增加，轨道长轴的长度也在增加。

轨迹随初始速度方向的变化
我们考察当初始速度方向不同时，地球的轨迹会有什么不同。设定速度为$2\pi$，方向角为45°、90°和135°。

由图可知，即使初始速度大小相同，其方向还是会改变轨道的长轴方向和离心率。

平方反比定律失效的情况
当平方反比定律失效时，行星的轨道将会发生进动。这里我们考察当$\beta$等于2.1时，对于同一个$\beta$，当离心率不同时，轨道的去向的变化过程。



由图可知，当初始速度为$2\pi$时，轨道为圆形，轨道方向不转动。初始速度为$2.25\pi$时，轨道为椭圆，轨道方向开始转动。当初始为$2.5\pi$时，轨道椭圆的程度更大，轨道方向的转动速度增加。

取更多的$\beta$值，观察图像变化

综上，可以知道，当$\beta$越来越大时，行星运动的进动越来越明显，以至于最后可以脱离恒星的束缚。

离心率对进动运动的影响
假设$\beta=2.05$,并假设中心天体不动，我们改变离心率的值，观察进动现象的变化。

左上展示了初始条件合适时，行星仍然能够保持圆轨道运动，此时不发生进动。
右上图及左下图则展示了行星轨道偏离圆周运动时，轨道将不是闭合的椭圆，而是将不断进动。
右下图给出了进动速率随离心率变化的规律，可以看出离心率越大时，进动越明显。

图片代码CODE

4.结论

当平方反比定律失效时，行星的轨道将会发生进动；
当初始速度为$2\pi$时，轨道为圆形，轨道方向不转动。初始速度为$2.25\pi$时，轨道为椭圆，轨道方向开始转动。当初始为$2.5\pi$时，轨道椭圆的程度更大，轨道方向的转动速度增加；
当$\beta$越来越大时，行星运动的进动越来越明显，以至于最后可以脱离恒星的束缚。当$\beta$保持不变时，若初始条件合适，行星仍然能够保持圆轨道运动，此时不发生进动。 行星轨道偏离圆周运动时，轨道将不是闭合的椭圆，而是将不断进动；
由进动速率随离心率变化的图像可以看出，离心率越大时，进动越明显。

5.致谢

本次作业参考了书上的算法及老师上课所使用的PPT，以及陈曦，李云龙同学的作业，在此表示感谢。同时不足之处欢迎大家指正！