exercise_08 the bifurcation diagrams

exercise3.21

摘要

使用Eular-Cromer的方法探究了特定物理条件下物理摆的混沌现象，并在此基础上解答了作业第3.21题。通过画出的这些图形我们可以明白，混沌现象中质点位置并不是完全混沌的，而是平均值符合一定的规律，这些图形可以帮助我们对物理规律进行比较直观的认识。同时本次作业对上一次的问题进行了更深入的探究，主要是对bifurcation diagrams的研究。

关键词： Eular-Cromer法  混沌  物理摆  驱动频率  阻尼参数  bifurcation diagrams

背景

引入问题：
Problem3.21. Investigate the bifurcation diagrams found for the pendulum with other values of the drive frequency and damping parameter. Warning:This can easily become an ambitions project!
之前学习的内容中讨论了外界驱动力、能量耗散和非线性这三种因素是如何分别作用于简单单摆并影响到其运动轨迹的。在上次作业，这三种因素将同时施加到单摆上，也就是所谓的物理摆。本次作业，改变驱动频率和阻尼参数，观察bifurcation diagrams

的变化。

正文

铺垫内容来自于exercise3.12

在综合考虑了能量耗散、外力驱动和非线性之后，物理摆的运动方程可以写作：

$$\begin{array}{l} \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_dsin(\Omega_Dt)\\ \frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_dsin(\Omega_Dt)\\ \frac{d\omega}{dt}=\omega \end{array}$$
其中 , $q$为摩擦系数 , $F_d$为强迫力 , $Ω_d$为强迫角频率
用Eular-Cromer法进行数值计算：
$$\begin{array}{l} \omega_{i+1}=\omega_i-[\frac{g}{l}sin\theta-q\omega+F_dsin(\Omega_Dt)]\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{array}$$
$F_d$不同时物理摆的运动
选择重力加速度和摆长均为9.8，阻尼系数为0.5，外力频率为2/3，时间间隔为0.04。分别对外力幅度为0、0.5、1.2的情况绘制摆的角度与时间的关系图。

CODE 1
图中蓝色线表示外力为零的状态，可见没有外界驱动力下的单摆在阻力的影响下很快就停止了；图中绿线表示外力幅度为0.5时的运动，可见单摆在开始阶段将初始条件决定的运动通过阻力消耗后，在之后的运动中做与外力同频率的简谐振动；红色的线表示外力幅度为1.2时的运动状态，可以看到，单摆的运动是没有周期性的，这就是混沌的特征。图中竖直的线是由于当角度超过180度时，程序将其角度自动减小360度，反之亦然。
接下来绘制角速度的变化情况：

CODE 2
上图三种颜色的线与之前一一对应。同时由上图可见，三种单摆的角速度的变化特征与上面所述的角度的变化特征相似，因为角速度只不过是角度对时间的导数；

混沌摆对初值的敏感性
混沌摆的最大特征是当初值仅仅改变了一点点时，结果就会有极大的变化。为了示意这种情况，选择两个摆，它们的初始角度仅仅相差$0.001rad$。之后观察它们分别在$F=1.2$（混沌）和$F=0.5$（非混沌）的情况下角度之差的变化规律。
这是$F=1.2$的情况下角度差的变化情况：

CODE 3
这是$F=0.5$的情况下角度差的变化情况：

可以明显看出，在混沌状态下，初始角度相差极小的两个物理摆的角度差随着时间推移会变大，最终趋于稳定，这种稳定是因为已经达到可能的最大差$2\pi$。这表明混沌摆对初值敏感性很强；而对于两个初始位置差异很小的非混沌摆，其角度差会迅速减小，最终趋于0.这表明非混沌摆对初值不敏感。

混沌摆的角度与角速度的关系
如下两图为$F_d=0.5$ , $1.2$时角度与角速度的关系：

由图$F_d=0.5$可见，除开最初的一段线，这关系基本上是一个椭圆，这表明对应每一个角度由两个角速度，反之亦然。最终的轨迹与初始值无关，这与上面的结论相合，也是符合简谐振动的规律的；而由图$F_d=1.2$可见，即混沌情况下的单摆的角度与角速度的关系。这里的图像明显比非混沌情况要复杂，但可以明显看出图像上的点并不是随机的，其中有一定的规律性。混沌系统一般都会显示这类的规律性。

研究庞加莱截面在不同外力相位取值时的情况

这张图是典型的$Poincar\acute e$图，图中只取了是驱动力周期倍数的时刻的情况。图中非混沌情况是中间的一个点；混沌情况中图中会出现奇异吸引子。


CODE 4~N
可以看到，随着相位从$0$到$\frac{\pi}{4}$再到$\frac{\pi}{2}$，图像明显逐渐移动。
由以上的计算结果可以看到，当驱动力的振幅为$F_d=0.5$时，$\omega$和$\theta$的关系相对稳定；而当驱动力增大到1.2时，这时出现混沌现象，角度和角速度的对应关系较为负杂，但同时也可以看到它们之间的的关系始终按一定的规律在变化，并不是完全随机的

接下来我们研究单摆系统是如何从简谐振动变为混沌振动的。我们先考察$F_D=1.35$,$1.44$,$1.465$时角度随时间的变化关系。

第一张图的周期与外界驱动力的相同，第二张图的周期是外力周期两倍，第三张图是外力周期四倍。由此我们可以看出，随着外力在这个范围内的增加，单摆的周期变为外力周期的两倍、四倍、八倍等等，最终进入混沌状态。

为了更好地研究这一渐变过程，接下来我们来画bifurcation diagrams。图上的点对应的是外力相位为零的时刻。

由图可知，从1.35开始的一段中，每一个$F_D$只对应一个角度，这时单摆的周期与外力周期一致。之后每个$F_D$对应两个角度，表明其周期是外力两倍。以后周期逐渐变为外力周期的四倍、八倍等。由于图像大小的限制，图中只显示了有限的周期的倍数，但是显然的是，当$F_D$持续增大后，周期会越来越长，最终进入没有周期的混沌情况。

然后我们来研究改变外力频率和阻尼系数时bifurcation diagrams会有什么变化。
首先改变外力的频率，令f=2/3,2/3+0.00001,2/3+0.00002,结果如下图

由图可知，当外力的频率增大时，图像的结构没有发生变化，只是图形整体下移，且上面的点有所增加。

其次改变阻尼系数，令q=0.5,0.51,0.52，结果如下图

由图可知，当阻尼系数有微小的变化时，图像整体右移，即推迟了混沌现象的出现。
CODE

接下来是关于vpython的展示

此时驱动力$F_D$从左到右依次为$0$,$0.5$,$1.2$

CODE
在动图中红色的球表示初始角度为0.2rad的摆，黄色的球表示初始角度为0.201rad的摆。绿色的球与中心连线与x轴正向的夹角表示两个摆之间的角度差。由图可知，两个混沌摆的夹角的变化没有规律，难以预测。

结论

参数的变化对混沌状态的改变是较大的，且混沌摆角度对初值依赖性也很大。
以及，嗯，不知道是不是电脑问题，vpython感觉不好装。

致谢

感谢蔡浩老师的PPT及我们的课本。