exercise_05 cannon shell trajectories

习题2.9

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1.摘要

本章重点学习的内容是抛物运动，同时要考虑空气阻力，不同高度空气的密度不同，对炮弹产生的影响也不同等内容，来使我们的模型更接近真实状态。通过之后的模拟，我们可以看到，空气阻力对炮弹的轨迹有非常大的影响，使它的飞行距离缩短了；而不同高度空气密度的变化提高了其飞行所能达到的最高高度。因为引进了不同的参数，所以方程的变量增多了，但是我们同样可以用欧拉法解决这一类问题。

关键词： 抛物运动 空气阻力 空气密度 飞行距离 飞行高度 变量增多 欧拉法

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2.背景介绍

题目：计算在考虑空气阻力和空气密度随高度的增加而减少的情况下炮弹的轨道。改变炮弹的发射角度，找出射程最远时的发射角。

分析：因为无法直接求出此模型的解析解，所以本题需要用欧拉法求解。同时引入了多个变量，为了能更加清晰明了的说明问题，在编码时需要用到class definition。

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3.正文

一，解析过程

先忽略风阻，由牛顿第二定律可以写出动力学方程

$$\begin{cases} \frac{d^2x}{dt^2}=0\\ \frac{d^2y}{dt^2}=-g\\ \end{cases}$$

引入$v_x$和$v_y$,将二阶偏微分方程降阶为一阶偏微分方程

$$\begin{cases} \frac{d_x}{d_t}=v_x\\ \frac{dv_x}{dt}=0\\ \frac{dy}{dt}=v_y\\ \frac{dv_y}{dt}=-g \end{cases}$$

用欧拉法可得

$$\begin{cases} x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t\\ v_{x,i+1}=v_{x,i}\\ y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t\\ v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t \end{cases}$$
考虑风阻时，有
$$F_{drag}=-B_2v^2$$

其中$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$,将阻力代入方程得

$$\begin{array}{rcl} x_{i+1}&=&x_i+v_{x,i}\Delta t\\ v_{x,i+1}&=&v_{x,i}-\frac{B_2vv_{x,i}}{m}\Delta t\\ y_{i+1}&=&y_i+v_{y,i}\Delta t\\ v_{y,i+1}&=&v_{y,i}-g\Delta t-\frac{B_2vv_{y,i}}{m}\Delta t \end{array}$$

其中

$$\begin{array}{rcl} \frac{B_2}{m}&=&4\times10^{-5}(m^{-1})\\ g&=&9.8(m/s)\\ \end{array}$$
考虑空气密度的变化时，有
$$p(y)=p(0)e^{-\frac{mgy}{k_BT}}$$

$$\rho=\rho_0exp(-y/y_0)$$

$$\rho=\rho_0(1-\frac{ay}{T_0})^{\alpha}$$

$$F_{drag}=\frac{\rho}{\rho_0}F_{drag}$$

其中，$y_0=\frac{k_BT}{mg}\approx1.0\times10^4m$, $a\approx6.5\times10^{-3}K/m$, $\alpha\approx2.5$

二，落点修正
又因为炮弹的落点的高度是固定的，所以需要进行落点位置的修正

$$x_l=\frac{x_n+rx_{n+1}}{r+1},y_l=0$$ $$r=-\frac{y_n}{y_{n+1}}$$

三，代码模拟

因为实在太长了太占篇幅所以就不po出来了，具体见链接。 code

四，图像

只考虑重力时的图像：

由图可知，$\theta=45^\circ$时，飞行距离最远。

考虑空气阻力时：

从图中可以清晰地看到，此时炮弹的飞行距离显著减小，仍然是$\theta=45^\circ$时，飞行距离最远。而且可以判断，出射角越大，受到风阻的影响越大。

考虑空气密度随高度的变化时：

空气密度的变化使炮弹飞得更远了。其实也很好解释，越往上空气越稀薄，所以风阻相应地减少了。

为了找出飞行距离最大的出射角，取多组不同的$\theta$,得到如下图：

可见，并不是当$\theta=45^\circ$时，飞得最远。

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4.结论

经过模拟可知，当出射角为42.5度时，炮弹的飞行距离最远

思考：本题忽略了科氏力和地球形状，以及假设大气层是一个绝热系统，炮弹飞行并不产生热量，所以其解并不完全精确，但是跟高中物理题的理想状态相比，确实前进了一大步。

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5.致谢

本次作业参考了书上的算法及老师上课所使用的PPT，以及写程序的时候参考了不少同学的作业，在此表示感谢。同时不足之处欢迎大家指正！