exercise_07$Construction\ of\ the\ Poincar\acute e\ sections$

exercise3.12

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摘要

使用Eular-Cromer的方法探究了特定物理条件下物理摆的混沌现象，并在此基础上解答了作业第3.12题。即研究庞加莱截面在不同外力相位取值时的情况，与Figure3.9进行比较。通过画出的这些图形我们可以明白，混沌现象中质点位置并不是完全混沌的，而是平均值符合一定的规律，这些图形可以帮助我们对物理规律进行比较直观的认识。

关键词： Eular-Cromer法 混沌 物理摆 庞加莱截面

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背景

引入问题：
Problem3.12. In constructing the Poincare section in Figure3.9 we plotted points only at times that were in phase with the drive force;that is at times ,where is an integer.At these values of the driving force passed through zero.However,we could just as easily have chosen to make the plot at times corresponding to a maximum of the drive force,or at times out-of-phase with this force,etc.Construct the Poincare sections for these cases and compare them with Figure3.9.
之前学习的内容中讨论了外界驱动力、能量耗散和非线性这三种因素是如何分别作用于简单单摆并影响到其运动轨迹的。在本次作业，这三种因素将同时施加到单摆上，也就是所谓的物理摆。物理摆有许多性质与简单单摆一致，但是也有很多自身独有的奇特性质。

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正文

在综合考虑了能量耗散、外力驱动和非线性之后，物理摆的运动方程可以写作：

$$\begin{array}{l} \frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_dsin(\Omega_Dt)\\ \frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_dsin(\Omega_Dt)\\ \frac{d\omega}{dt}=\omega \end{array}$$
其中 , $q$为摩擦系数 , $F_d$为强迫力 , $Ω_d$为强迫角频率
用Eular-Cromer法进行数值计算：
$$\begin{array}{l} \omega_{i+1}=\omega_i-[\frac{g}{l}sin\theta-q\omega+F_dsin(\Omega_Dt)]\Delta t\\ \theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\\ t_{i+1}=t_i+\Delta t \end{array}$$

$F_d$不同时物理摆的运动

选择重力加速度和摆长均为9.8，阻尼系数为0.5，外力频率为2/3，时间间隔为0.04。分别对外力幅度为0、0.5、1.2的情况绘制摆的角度与时间的关系图。

CODE 1

图中蓝色线表示外力为零的状态，可见没有外界驱动力下的单摆在阻力的影响下很快就停止了；图中绿线表示外力幅度为0.5时的运动，可见单摆在开始阶段将初始条件决定的运动通过阻力消耗后，在之后的运动中做与外力同频率的简谐振动；红色的线表示外力幅度为1.2时的运动状态，可以看到，单摆的运动是没有周期性的，这就是混沌的特征。图中竖直的线是由于当角度超过180度时，程序将其角度自动减小360度，反之亦然。

接下来绘制角速度的变化情况：

CODE 2
上图三种颜色的线与之前一一对应。同时由上图可见，三种单摆的角速度的变化特征与上面所述的角度的变化特征相似，因为角速度只不过是角度对时间的导数。

混沌摆对初值的敏感性

混沌摆的最大特征是当初值仅仅改变了一点点时，结果就会有极大的变化。为了示意这种情况，选择两个摆，它们的初始角度仅仅相差$0.001rad$。之后观察它们分别在$F=1.2$（混沌）和$F=0.5$（非混沌）的情况下角度之差的变化规律。

这是$F=1.2$的情况下角度差的变化情况：

CODE 3

这是$F=0.5$的情况下角度差的变化情况：

可以明显看出，在混沌状态下，初始角度相差极小的两个物理摆的角度差随着时间推移会变大，最终趋于稳定，这种稳定是因为已经达到可能的最大差$2\pi$。这表明混沌摆对初值敏感性很强；而对于两个初始位置差异很小的非混沌摆，其角度差会迅速减小，最终趋于0.这表明非混沌摆对初值不敏感。

混沌摆的角度与角速度的关系

如下两图为$F_d=0.5$ , $1.2$时角度与角速度的关系：

由图$F_d=0.5$可见，除开最初的一段线，这关系基本上是一个椭圆，这表明对应每一个角度由两个角速度，反之亦然。最终的轨迹与初始值无关，这与上面的结论相合，也是符合简谐振动的规律的；而由图$F_d=1.2$可见，即混沌情况下的单摆的角度与角速度的关系。这里的图像明显比非混沌情况要复杂，但可以明显看出图像上的点并不是随机的，其中有一定的规律性。混沌系统一般都会显示这类的规律性。

研究庞加莱截面在不同外力相位取值时的情况

这张图是典型的$Poincar\acute e$图，图中只取了是驱动力周期倍数的时刻的情况。图中非混沌情况是中间的一个点；混沌情况中图中会出现奇异吸引子。

CODE 4~N
可以看到，随着相位从$0$到$\frac{\pi}{4}$再到$\frac{\pi}{2}$，图像明显逐渐移动。

由以上的计算结果可以看到，当驱动力的振幅为$F_d=0.5$时，$\omega$和$\theta$的关系相对稳定；而当驱动力增大到1.2时，这时出现混沌现象，角度和角速度的对应关系较为负杂，但同时也可以看到它们之间的的关系始终按一定的规律在变化，并不是完全随机的

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结论

通过Euler-Cromer方法，可以较容易的探究物理摆的混沌现象。混沌图像有一定规律性，参数的变化对混沌状态有较大影响，且初值对混沌摆角度的影响性也很大。庞加莱截面在不同外力相位取值时的情况下，逐渐移动。

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致谢

感谢蔡浩老师的PPT及我们的课本。学到现在感觉英语水平有了显著地提升，可是一开始想用英文写还是失败了，sad。