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@xzyxzy 2018-07-17T19:39:03.000000Z 字数 4288 阅读 1713

舞蹈链（DLX）

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一、概述

特别特别感谢这位童鞋His blog
舞蹈链是一种优美的搜索，就像下面这样跳舞～
cnblogs不给图片cnblogs不给图片cnblogs不给图片
舞蹈链用于解决精确覆盖或者重复覆盖的问题
你可以想象成贪吃蛇的一个上下左右联通的地图
就是通过链表这样实现的
网上有图的博客

二、实现

更详细的讲解在课件中

精确覆盖

精确覆盖大概指的就是数独和八皇后那样的问题
矩阵中选择一个行的集合，使得每列有且只有一个1
那么就是说每个格子上的点都有若干限制条件（行、列、对角线），每个条件都只允许一个元素
在舞蹈链中（可以把它看作一个表格），每个元素看作一行，限制条件转化为列，选一行删去也同时要删去这一行中所有点所在的列
然后舞蹈链兹瓷快速删除这些东西和快速回溯（复杂度未知）
大概有、、、、五个函数
实现的话看代码吧，有详细的注释

Code - [luogu1219]八皇后

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<algorithm>
  4. #include<cstring>
  5. using namespace std;
  6. const int N=100100;
  7. int ans,nn,o;
  8. struct out{int a[14];}Ans[N];
  9. namespace DLX
  10. {
  11.     int n,m,cnt;//长宽，点的数量
  12.     int l[N],r[N],u[N],d[N];//上下左右的情况
  13.     int row[N],col[N];//每个点所处的行列
  14.     int h[N],s[N];//头节点和每列节点数
  15.     int ansk[20];//答案
  16.     void init(int nn,int mm)
  17.     {
  18.         //这个表格被循环套了起来，就像贪吃蛇的地图，左右和上下相通
  19.         //预先给第0行的每一列弄一个点
  20.         n=nn,m=mm;
  21.         for(int i=0;i<=m;i++)
  22.             r[i]=i+1,l[i]=i-1,u[i]=d[i]=i;
  23.         r[m]=0;l[0]=cnt=m;
  24.         memset(h,-1,sizeof(h));
  25.     }
  26.     void link(int R,int C)//在R行C列插入点
  27.     {
  28.         s[C]++;cnt++;//先记录这个点的各种信息
  29.         row[cnt]=R; col[cnt]=C;
  30.         //把列的链表改动
  31.         u[cnt]=C;
  32.         d[cnt]=d[C];
  33.         u[d[C]]=cnt;
  34.         d[C]=cnt;
  35.         //把行的链表改动       
  36.         if(h[R]<0) h[R]=l[cnt]=r[cnt]=cnt;
  37.         else
  38.         {
  39.             r[cnt]=h[R];
  40.             l[cnt]=l[h[R]];
  41.             r[l[h[R]]]=cnt;
  42.             l[h[R]]=cnt;
  43.         }
  44.     }
  45.     void remove(int C)//删除C列以及C列上有点的行
  46.     {
  47.         r[l[C]]=r[C]; l[r[C]]=l[C];
  48.         for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
  49.             for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])
  50.             {
  51.                 u[d[j]]=u[j];
  52.                 d[u[j]]=d[j];
  53.                 s[col[j]]--;//是减得只剩下1吗（dei）
  54.             }
  55.     }
  56.     void resume(int C)//恢复C列以及C列上有点的行
  57.     {
  58.         r[l[C]]=C; l[r[C]]=C;
  59.         for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
  60.             for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])
  61.             {
  62.                 u[d[j]]=j;
  63.                 d[u[j]]=j;
  64.                 s[col[j]]++;
  65.             }
  66.     }
  67.     void dance(int deep)
  68.     {
  69.         int C=r[0];//找第一个限制条件
  70.         if(C>2*nn)//如果所有的行已经被删完就统计答案（能不能>2n）
  71.         {
  72.             ans++;
  73.             for(int i=0,x,y;i<deep;i++)
  74.             {
  75.                 //记录下来选的点的编号，用编号还原行列
  76.                 x=ansk[i]%nn;
  77.                 y=(ansk[i]-1)/nn+1;
  78.                 if(x==0) x=nn;
  79.                 Ans[ans].a[y]=x;//x和y是等价的，可以交换
  80.             }
  81.             return;
  82.         }
  83.         for(int i=C;i<=nn;i=r[i])//找到点最少的列
  84.             /*
  85.               这是一处剪枝，因为删掉点最少的列，就是为了满足这个限制条件
  86.               需要枚举删掉的点就少一些，从而使得之后的剪枝更高效
  87.               相当于把搜索树繁茂的地方留给叶子，而深度越深越容易被剪枝
  88.               不加会T
  89.              */
  90.             if(s[i]<s[C]) C=i;
  91.         remove(C);//删掉这一列
  92.         for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])//枚举答案是这一列的哪个点，因为每一列只能选一个点，所以枚举选哪个
  93.         {
  94.             ansk[deep]=row[i];//记录答案，这个点编号是row[i]
  95.             for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(col[j]);//这个点的行也得删了，把这行有点的列也删掉
  96.             dance(deep+1);
  97.             for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) resume(col[j]);//回溯
  98.         }
  99.         resume(C);//回溯过程
  100.     }
  101. }
  102. int cmp(const out&A,const out&B)
  103. {
  104.     int p=0;while(A.a[p]==B.a[p]) p++;
  105.     return A.a[p]<B.a[p];
  106. }
  107. int main()
  108. {
  109. /// freopen("a.out","w",stdout);
  110.     scanf("%d",&nn);
  111.     /*
  112.       nn*nn个格子，每个格子看作舞蹈链的一行
  113.       总共有nn行nn列nn×2-1左对角nn×2-1右对角 共6×nn-2个限制
  114.       把每个限制看作一列，进行精准覆盖
  115.      */
  116.     DLX::init(nn*nn,6*nn-2);
  117.     for(int i=1;i<=nn;i++)
  118.         for(int j=1;j<=nn;j++)
  119.         {
  120.             o++;
  121.             DLX::link(o,i);//占据第i行
  122.             DLX::link(o,j+nn);//占据第j列（能不能不写这一句）
  123.             DLX::link(o,i-j+3*nn);//占据第i-j+nn个左上到右下的对角线
  124.             DLX::link(o,i+j+4*nn-2);//占据第i+j-1个右上到左下的对角线
  125.         }
  126.     DLX::dance(0);//跳舞啦
  127.     sort(Ans+1,Ans+ans+1,cmp);
  128.     for(int i=1;i<=3;i++,puts(""))
  129.         for(int j=1;j<=nn;j++) printf("%d ",Ans[i].a[j]);
  130.     printf("%d\n",ans);return 0;
  131. }

Code - Easy Finding戳我

重复覆盖

矩阵中选择一个行的集合，使得每列至少有一个1
所以选了一列之后不能把列中有1的所有的行删掉，复杂度会提高，加一个估价函数的剪枝

Code - [FZU1686]神龙的难题

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstdlib>
  4. #include<cstring>
  5. using namespace std;
  6. const int N=70000;
  7. int A[20][20],n,m,n1,m1;
  8. int o,ans,tt;
  9. namespace DLX
  10. {
  11.     int n,m,p,u[N],d[N],l[N],r[N];
  12.     int col[N],row[N],h[300],s[300],vis[300];
  13.     void init(int nn,int mm)
  14.     {
  15.         n=nn,m=mm;
  16.         for(int i=0;i<=m;i++)
  17.             l[i]=i-1,r[i]=i+1,d[i]=u[i]=i,s[i]=0;
  18.         p=m;l[0]=m;r[m]=0;
  19.         memset(h,-1,sizeof(h));
  20.     }
  21.     void link(int R,int C)
  22.     {
  23.         p++;row[p]=R;col[p]=C;s[C]++;
  24.         d[p]=C;u[p]=u[C];
  25.         d[u[C]]=p;u[C]=p;
  26.         if(h[R]<0) h[R]=l[p]=r[p]=p;
  27.         else r[p]=h[R],l[p]=l[h[R]],r[l[h[R]]]=p,l[h[R]]=p;
  28.     }
  29.     void remove(int C)
  30.     {
  31.         for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
  32.             l[r[i]]=l[i],r[l[i]]=r[i];
  33.     }
  34.     void resume(int C)
  35.     {
  36.         for(int i=u[C];i!=C;i=u[i])
  37.             l[r[i]]=i,r[l[i]]=i;
  38.     }
  39.     int H()
  40.     {
  41.         int res=0;
  42.         memset(vis,0,sizeof(vis));
  43.         for(int i=r[0];i;i=r[i])
  44.         {
  45.             if(vis[i]) continue;
  46.             vis[i]=1; res++;
  47.             for(int j=d[i];j!=i;j=d[j])
  48.                 for(int k=r[j];k!=j;k=r[k])
  49.                     vis[col[k]]=1;
  50.         }
  51.         return res;
  52.     }
  53.     void dance(int step)
  54.     {
  55.         if(step+H()>=ans) return;
  56.         if(r[0]==0) {ans=min(ans,step);return;}
  57.         int C=r[0];
  58.         for(int i=r[C];i;i=r[i]) if(s[i]<s[C]) C=i;
  59.         for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
  60.         {
  61.             remove(i);
  62.             for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(j);
  63.             dance(step+1);
  64.             for(int j=l[i];j!=i;j=l[j]) resume(j);
  65.             resume(i);
  66.         }
  67.     }
  68. }
  69. int main()
  70. {
  71.     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
  72.     {
  73.         o=1;ans=1e9;tt=0;       
  74.         for(int i=1;i<=n;i++)
  75.             for(int j=1,x;j<=m;j++)
  76.             {
  77.                 scanf("%d",&x);
  78.                 if(x) A[i][j]=++tt;
  79.                 else A[i][j]=0;
  80.             }
  81.         scanf("%d%d",&n1,&m1);
  82.         DLX::init((n-n1+1)*(m-m1+1),tt);
  83.         for(int i=1;i<=n-n1+1;i++)
  84.             for(int j=1;j<=m-m1+1;j++,o++)
  85.                 for(int x=i;x<=i+n1-1;x++)
  86.                     for(int y=j;y<=j+m1-1;y++)
  87.                         if(A[x][y]) DLX::link(o,A[x][y]);
  88.         DLX::dance(0);printf("%d\n",ans);
  89.     }
  90. }

三、尾声

舞蹈链的复杂度是指数级别的，但是由于有非常强大的剪枝所以可以有玄学复杂度

在一般竞赛中舞蹈链并没有很广泛的应用和考察
但是这种思想需要大家了解，体会其中舞蹈的优美

弄个题单吧

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