定积分初步

数论

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一、概述

形式

形如这个东西的就是定积分了

$$\int_a^bf(x)dx$$ 具体参见高等数学上册$P224$

求法

找到一个$g(x)$使得$f(x)$是$g(x)$的导函数

$$\int_a^bf(x)dx=g(x)|_a^b=g(b)-g(a)$$ 一般来说常用的导函数公式是$(x^a)'=a×x^{a-1}$

几何意义

表示$f(x)$在$[a,b]$上与$x$轴围成的面积，如果在$x$轴下方要算负的

二、应用

数学方面

• 求$y^2=2x$与直线$y=x-4$围成的图形的面积（高数上册$P277$）
• 证明旋转体圆锥的体积公式
• 证明球的体积公式
• 证明球的表面积公式

信息方面

• 2018.3.15考试题T3：求$max(\sum_{i=1}^{n}x_i^m,0)$的期望值，其中$x_i$为随机均匀的$[l_i,r_i]$的实数

PS
第一个应用题的图形面积为18
圆锥体积要积圆柱体积
球的体积要积圆柱体积
球表面积不能积圆柱，要积角度，因为不能把它看成圆柱的竖直的侧面积，而是斜的